Question

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены медианы АЕ и CD. Докажите, что АВЕ=СВD

Answer 1

Так как AB=BC, и медианы AE и СD делят стороны BC и AB соответственно пополам, то AD=DB=BE=EC.

 

Рассмотрим треугольники ABE и CBD. В них CB=AB- боковые стороны равнобедренного треугольника, BE=DB и AE=DC (медианы к боковым  сторонам равнобедренного треугольника равны)

 

То  есть треугольники ABE и CBD равны за тремя сторонами

Answer 2

Для доказательства того, что треугольники \( \triangle ABE \) и \( \triangle CBD \) равны, давайте воспользуемся свойствами медиан в равнобедренном треугольнике.

1. Поскольку треугольник \( \triangle ABC \) - равнобедренный с основанием \( AC \), то медиана \( AE \) будет совпадать с биссектрисой угла \( \angle BAC \). Аналогично, медиана \( CD \) будет совпадать с биссектрисой угла \( \angle BCA \).

2. Так как треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный, у него \( \angle BAC = \angle BCA \). Следовательно, биссектрисы этих углов совпадают.

3. Следовательно, угол \( \angle BAE \) равен углу \( \angle CBD \), поскольку медианы совпадают с биссектрисами углов.

4. Теперь мы видим, что у нас есть два треугольника с двумя равными углами (\( \angle BAE = \angle CBD \) и \( \angle ABE = \angle CDB \)) и равной стороной (\( AB = BC \)) между ними.

5. По угловой стороне-угол-стороне (УСУ) треугольники \( \triangle ABE \) и \( \triangle CBD \) равны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники \( \triangle ABE \) и \( \triangle CBD \) равны, что включает в себя равенство соответствующих углов \( \angle ABE \) и \( \angle CBD \).