Question

На прямой последовательно отмечено четыре точки A, B, O, C и D так, что AC=BD. Докажите, что если точка O является серединой BC, то она также является серединой AD.

Answer 1

Отрезок АС= АВ+ВС
Отрезок ВD=CD+ВС
Поскольку по условию АС=BD, то АВ=CD.
Если точка О будет серединой ВС, то справедливо ВО=ОС
Отрезок AD= AB+BO+OC+CD
АО= АВ+ВО
CD=OC+CD
Мы доказали ранее , что АВ=CD, а ВО=ОС, Значит точка О - середина AD

Answer 2

Дано: AC = BD и O является серединой BC.

Нам нужно доказать, что O также является серединой AD.

Для начала, рассмотрим треугольник ABO. Так как O является серединой BC, то по определению середины, BO = OC.

Теперь рассмотрим треугольник DOC. Так как AC = BD, то по условию, AD = AC + CD = BD + CD. Но также известно, что AD = AO + OD (по определению отрезка AD), а BD = BO + OD (по определению отрезка BD).

Подставим эти равенства в равенство AD = BD + CD:

AO + OD = BO + OD + CD

Отняв OD с обеих сторон, получим:

AO = BO + CD

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Из равенства BO = OC (по определению середины), мы можем заменить BO на OC в равенстве AO = BO + CD:

AO = OC + CD

Таким образом, мы получили, что AO = OC + CD.

Но мы также знаем, что O является серединой BC, поэтому OC = OB. Подставим это в предыдущее равенство:

AO = OB + CD

Так как OC = OB и AC = BD, то мы можем заменить их в равенстве AO = OB + CD:

AO = AC + CD

Но это означает, что точка O является серединой отрезка AD, так как AO = AC + CD.

Таким образом, мы доказали, что если точка O является серединой BC и AC = BD, то она также является серединой AD.