Question

В прямоугольном треугольнике вписана окружность, точка касания лежащие на гипотенузе делит её на отрезки равные 4 и 6 см, найдите площадь данного треугольника.

Answer 1

Свойство касательной к окружности: если из одной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных равны.
Поэтому отрезок равный 6 можно отметить и на катете. На другом катете есть отрезок, равный 4. А так же на каждом катете есть отрезки, равные r- радусу, вписанной окружности.
Теперь теорема Пифагора
(6+r)² + (4+r)²=(6+4)²
Найдем r
36+12r+r²+16+8r+r²=100
2r²+20r-48=0
r²+10r-24=0
корни -12 и 2. Подходит только 2
Ответ катет 6+2=8 и второй катет 4+2=6 Площадь равна половине произведения катетов 24 см кв

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится использовать свойство вписанной окружности в прямоугольном треугольнике.

Свойство вписанной окружности

В прямоугольном треугольнике, если окружность вписана и касается гипотенузы, то точка касания делит гипотенузу на два отрезка, длины которых равны проекциям катетов треугольника на гипотенузу.

В данной задаче мы знаем, что точка касания делит гипотенузу на два отрезка длиной 4 см и 6 см. Пусть длина гипотенузы равна H см.

Тогда согласно свойству вписанной окружности, мы можем записать следующее уравнение:

4 + 6 = H

Сумма длин отрезков, на которые делится гипотенуза, должна быть равна длине гипотенузы.

Решение уравнения

Решим уравнение:

4 + 6 = H

10 = H

Значит, длина гипотенузы равна 10 см.

Нахождение площади треугольника

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы, мы можем найти площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (катет1 * катет2) / 2

В нашем случае, катеты треугольника равны 4 см и 6 см, а формула принимает вид:

Площадь = (4 * 6) / 2

Площадь = 24 / 2

Площадь = 12 квадратных сантиметров

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 12 квадратных сантиметров.