Question

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

1) $S_{o} = \frac {a^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac {AB^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{36\sqrt{3} }{4} = 9\sqrt{3}$
2) Опустим высоту DE в грани DCB. Т.к. пирамида правильная ⇒ ΔDCB равнобедренный ⇒ DE - медиана ⇒ E - середина ребра CB.
Соединим AE. т.к. ΔABC - равносторонний ⇒ AE медиана и высота.
DE ⊥ CB и AE ⊥ CB ⇒ ∠AED - линейный угол двугранного угла.
3) Опустим высоту DH. т.к. пирамида правильная H делит AE в отношении 2:1 начиная от вершины ⇒ HE = 1/3 AE.
ΔDHE - прямоугольный и равнобедренный ⇒ h = DH = HE = 1/3 AE;
$AE = \frac {a \sqrt{3} }{2} =\frac {6 \sqrt{3} }{2} = 3\sqrt{3}$
$h = \frac{1}{3} *3\sqrt{3} = \sqrt{3}$
4)$V = 1/3 * S_o * h = 1/3 * 9\sqrt{3} * \sqrt{3} = 9$

Answer 2

Для решения данной задачи, вам потребуется использовать формулу для вычисления объема пирамиды, которая выглядит следующим образом:

V = (1/3) * S * h

где: - V представляет собой объем пирамиды, - S - площадь основания пирамиды, - h - высота пирамиды.

Для начала, нам нужно найти площадь основания пирамиды. Поскольку в задаче говорится, что пирамида является "правильной" и имеет четырехугольное основание, можно предположить, что это квадрат. Площадь квадрата можно вычислить, возводя длину его стороны в квадрат. В данном случае, сторона основания пирамиды равна 6, поэтому площадь основания будет равна:

S = 6 * 6 = 36

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно использовать информацию о двугранном угле при основании. Поскольку угол при основании равен 45°, мы можем использовать тригонометрию для определения высоты пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 45°, а катетом является половина стороны основания пирамиды. По теореме Пифагора, можем найти длину высоты.

Половина стороны основания равна: a = 6 / 2 = 3

Теперь применим теорему Пифагора: h^2 = a^2 + a^2 = 3^2 + 3^2 = 18

Мы нашли квадрат высоты пирамиды, теперь возьмем корень из этого значения, чтобы получить высоту: h = sqrt(18) = 3 * sqrt(2)

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота пирамиды, мы можем использовать формулу для вычисления объема:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 36 * 3 * sqrt(2) = 12 * sqrt(2)

Таким образом, объем пирамиды равен 12 * sqrt(2).