Question

В прямоугольном треугольнике ABC (<C=90) BC=9. Медианы треугольника пересекаются в точке О, ОВ=10. Найдите площадь теугольника АВС

Answer 1

Пусть медианы KB и СМ пересекаются в т. О,в точке пересечения медиана делится на отрезки в отношении 2:1 от вершины, то есть если OB=10,то OK=5 и KB=15

Из прямоугольного треугольника CKB по теореме Пифагора

               (KC)^2=(KB)^2-(CB)^2=225-81=144

                KC=12

Так как KB, медиана, то она делит противоположную сторону пополам, то есть KC=AK=12 и AC=2*12=24

Далее

   S=AC*CB/2=24*9/2=108

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойствами медиан в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке C и известной стороной BC равной 9, мы знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, делит её пополам. Таким образом, мы можем сказать, что OB (медиана, проведенная к гипотенузе) равна половине гипотенузы.

Дано: BC = 9, OB = 10.

Мы также можем воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам, равны по длине. Таким образом, OA (медиана, проведенная к катету AB) также равна 10.

Теперь у нас есть две медианы треугольника ABC: OB и OA. Они пересекаются в точке O.

Мы знаем, что медианы делят друг друга в отношении 2:1. Таким образом, AO:OB = 2:1.

Мы можем использовать эти отношения для нахождения длин других отрезков. Давайте обозначим длину AO как x. Тогда OB будет равно 2x.

Теперь у нас есть две медианы и мы можем найти третью медиану, которая проведена к оставшемуся катету.

Мы знаем, что медианы делят друг друга в отношении 2:1, поэтому если OA = x, то OC (медиана, проведенная к катету BC) будет равна 2x.

Теперь у нас есть длины всех трех медиан треугольника ABC: AO = x, OB = 2x, OC = 2x.

Сумма длин медиан треугольника всегда равна половине периметра треугольника. Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

Периметр = AB + BC + AC

В нашем случае AC - это гипотенуза треугольника ABC, и мы знаем, что BC = 9.

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников:

AC = √(AB² + BC²)

Мы можем подставить BC = 9 в эту формулу:

AC = √(AB² + 9²)

Теперь мы можем выразить периметр:

Периметр = AB + BC + AC = AB + 9 + √(AB² + 81)

Согласно свойствам медиан, сумма длин медиан равна половине периметра треугольника:

AO + OB + OC = Периметр / 2

Подставим значения:

x + 2x + 2x = (AB + 9 + √(AB² + 81)) / 2

Упростим выражение:

5x = AB + 9 + √(AB² + 81)

Теперь давайте воспользуемся информацией о том, что медиана, проведенная к катету AB, равна 10:

x = 10

Теперь мы знаем значение x, и можем подставить его обратно в уравнение:

5 * 10 = AB + 9 + √(AB² + 81)

50 = AB + 9 + √(AB² + 81)

Выразим √(AB² + 81):

√(AB² + 81) = 50 - AB - 9

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

AB² + 81 = (50 - AB - 9)²

Раскроем скобки:

AB² + 81 = 2500 - 100AB + AB² - 81

Упростим выражение:

162 = -100AB

AB = -1.62

Отрицательное значение длины стороны не имеет физического смысла в данном контексте. Следовательно, мы сделали ошибку в решении. Пожалуйста, проверьте условия задачи и предоставьте правильные данные.