Question

На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка E. Биссектрисы углов EAB и EAD пересекают стороны BC и CD в точках M и N соответственно. На луче AE отмечена такая точка F, что AF = AB. Докажите, что F лежит на прямой MN.

Answer 1

ΔADN=ΔAFN по 1 признаку (AF=AB=AD, AN - общая, ∠DAN=∠FAN т.к. AN - биссектриса). Значит ∠AFN=∠ADN=90°. Аналогично, ΔBAM=ΔFAM, откуда ∠AFM=∠ABM=90°. Т.е. ∠AFM+∠AFN=180°, т.е. F лежит на MN.

Answer 2

Задача

На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка E. Биссектрисы углов EAB и EAD пересекают стороны BC и CD в точках M и N соответственно. На луче AE отмечена такая точка F, что AF = AB. Докажите, что F лежит на прямой MN.

Решение

Для доказательства того, что точка F лежит на прямой MN, мы можем использовать свойство биссектрисы угла.

Из условия задачи, мы знаем, что точка F находится на луче AE и что AF = AB. Также, биссектрисы углов EAB и EAD пересекают стороны BC и CD в точках M и N соответственно.

Мы можем заметить, что треугольники AEF и AEB равнобедренные, так как AF = AB и углы EAF и EAB равны, так как они являются биссектрисами угла EAD.

Таким образом, у нас есть два равнобедренных треугольника AEF и AEB, и у них есть общая сторона AE. По свойству равнобедренных треугольников, мы можем сделать вывод, что угол EAF равен углу EAB.

Теперь рассмотрим треугольники EAF и EMD. У них также есть общая сторона AE и равные углы EAF и EMD (так как они являются биссектрисами угла EAB и EAD соответственно). По свойству равных углов, мы можем сделать вывод, что угол EAF равен углу EMD.

Таким образом, у нас есть два треугольника EAF и EMD, у которых есть две пары равных углов. По свойству равных углов, мы можем сделать вывод, что третий угол каждого из этих треугольников также равен.

Третий угол треугольника EAF равен углу EFA, а третий угол треугольника EMD равен углу EDM. Так как угол EAF равен углу EMD, и угол EFA равен углу EDM, то угол EFA также равен углу EDM.

Таким образом, у нас есть два треугольника EAF и EMD, у которых две пары равных углов и одна пара равных третьих углов. По свойству равных треугольников, мы можем сделать вывод, что эти треугольники равны.

Следовательно, сторона AF равна стороне MD. Так как точка F находится на луче AE, а точка M находится на стороне CD, то мы можем сделать вывод, что точка F также лежит на прямой MN.

Таким образом, мы доказали, что точка F лежит на прямой MN.

Ответ

Точка F лежит на прямой MN.