Question

в треугольнике MNK угол К=37 градусов,угол М=69 градусов,NP-биссектриса треугольника.Докажите.что MP больше PK

Answer 1

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит NK > MN, и NK/MN > 1. 
По свойству биссектрисы треугольника NK/MN = PK/MP, => PK/MP > 1. Получается, что PK > MP

Answer 2

Для доказательства того, что mp больше pk, мы можем использовать основные свойства биссектрисы треугольника.

По определению биссектрисы, она делит угол М на два равных угла (угол МпК = угол КпK). Также, по определению угла-биссектрисы, биссектриса np перпендикулярна стороне МК треугольника.

Теперь рассмотрим треугольник МпК. В нем мы знаем два угла: угол МпК = угол КпК (по свойству биссектрисы) и угол М = 69 градусов.

Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, то мы можем найти третий угол треугольника МпК: угол КпМ = 180 - (90 + 69) = 180 - 159 = 21 градус.

Теперь рассмотрим треугольник МпK. В нем у нас есть два равных угла: угол МпМ и угол КпК (они оба равны половине угла М = 69/2 = 34.5 градуса).

Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, то мы можем найти третий угол треугольника МпK: угол МКп = 180 - (34.5 + 34.5) = 180 - 69 = 111 градусов.

Теперь мы можем заметить, что угол МКп больше угла КпМ, значит сторона Мп длиннее стороны пK (по одному из свойств треугольника: "в треугольнике больше сторона лежит против большего угла"). Следовательно, mp больше pk.