Question

Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 35 ,а острый угол равен 60 градусов

Answer 1

По свойству острого угла прямоугольного треугольника найдем половину одной из диагоналей из которой потом найдем и другую диагональ.
Так как у ромба углы делятся диагоналями то острые углы в образовавшихся прямоугольных треугольниках будут равны 30 градусов. А по свойству прямоугольно треугольника катет лежащий напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы. Гипотенуза у нас сторона ромба.
Найдем этот катет 1/2 35 = 17.5  первый катет и соответственно одна из полу диагоналей.
17.5*2 = 35 см будет полная диагональ, одну нашли.
Найдем вторую через значение первого катета
По теореме пифагора
35^2-17.5^2=918.75 под корнем
это полу диагональ, найдем целиком диагональ
918.75 под корнем * 2 = 2 под корнем 918.75
Какая же диагональ будет наименьшей? тут и так понятно но можно посчитать возведя числа в квадрат
35^2=1225
2 под корнем 918.75 все в квадрате равно = 4*918.75 = 3675.
Значит наименьшая диагональ равна 35 см.

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся свойствами ромба.

В ромбе все стороны равны между собой, следовательно, если дана сторона ромба, то все остальные стороны также равны данной стороне.

Поскольку сторона ромба равна 35, то все остальные стороны также будут равны 35.

Также известно, что один из углов ромба равен 60 градусов.

Углы в ромбе являются острыми, поэтому смежные углы ромба должны в сумме давать 180 градусов.

Так как один из углов ромба можно назвать носящим особое название — острый угол ромба, мы можем предположить, что речь идет о внутреннем угле, и сумма его дополнений равна 180 градусов.

Поскольку одно из дополнений равно 60 градусов, другое дополнение будет равно 180 минус 60, то есть 120 градусов.

Таким образом, дополнительный угол ромба равен 120 градусов.

Данные значения углов не позволяют нам определить диагонали ромба.

Диагонали ромба, как и в прямоугольнике, делят внутреннее пространство на четыре равных, подобных друг другу треугольника.

Предположим, что одна из диагоналей ромба является меньшей.

Пусть x — длина меньшей диагонали ромба.

Диагонали ромба образуют прямоугольный треугольник, у которого один из углов равен 60 градусов.

Такой треугольник рассматривается как прямоугольный треугольник со знаком "углы называются углами противоположнми данным сторонам".

Обозначим стороны прямоугольного треугольника a, b и c, а гипотенузу (сторону, противолежащую прямому углу) обозначим h.

Тогда для прямоугольного треугольника с углом 60 градусов выполнены следующие соотношения:

a = h√3 / 2, b = h / 2, c = h.

В нашем случае c = x, a = 35 / 2 и b = 35.

Добавим эти соотношения:

35 = h√3 / 2 + h / 2.

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

35 - h√3 / 2 - h / 2 = 0.

Общий знаменатель равен 2 (наименьшее возможное значение знаменателя), поэтому умножим все слагаемые на 2:

70 - h√3 - h = 0.

Приведем подобные слагаемые:

70 - h(√3 + 1) = 0.

Разделим обе части уравнения на (√3 + 1):

70 / (√3 + 1) - h = 0.

Упростим дробь:

70/(√3 + 1) - h = 0.

Для упрощения выражения в числителе и знаменателе дроби умножим дробь на ее сопряженное значение (√3 - 1):

70(√3 - 1) / ((√3 + 1)(√3 - 1)) - h = 0.

Раскроем скобки:

(70√3 - 70) / (3 - 1) - h = 0.

Упростим выражение:

(70√3 - 70) / 2 - h = 0.

Разделим обе части уравнения на 2:

35√3 - 35 - h = 0.

h = 35√3 - 35.

Применяя подходящий косинус треугольника, найдем вторую диагональ ромба:

h^2 = x^2 + (35 / 2)^2.

Подставим h и решим уравнение:

(35√3 - 35)^2 = x^2 + 35^2 / 4.

Применим свойство раскрытия скобок:

1225*3 - 70*35√3 + 1225 - x^2 = x^2 + (35^2)/4.

Вычтем x^2 из обеих частей уравнения:

1225*3 - 70*35√3 + 1225 = 2*x^2 + (1225)/4.

Распространим числа:

3675 - 70*35√3 = 2*x^2 + 1225/4.

Упростим дробь:

3675 - 70*35√3 = 2x^2 + 306.25.

Перенесем числа со своим знаком на одну сторону:

2x^2 = 3675 - 70*35√3 - 306.25.

Вычислим значение выражения:

2x^2 ≈ 3126.25 - 70*35√3.

Решим уравнение:

x^2 ≈ (3126.25 - 70*35√3) / 2.

Вычислим:

x ≈ √((3126.25 - 70*35√3) / 2).

Полученное значение является меньшей диагональю ромба.

Значение получается около 11.16.