Question

Катеты прямоугольного треугольника 8 корень из 2 и 15 корень из 2.Найдите расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной окружности

Answer 1

Удивительно, но и тут Пифагорова тройка. Этот треугольник подобен треугольнику (8, 15, 17), все стороны его в корень(2) больше, то есть (8*корень(2), 15*корень(2), 17*корень(2)). Вот так незаметно мы нашли гипотенузу, хотя, конечно, можно было тупо "сосчитать" по теореме Пифагора. 

Для начала найдем радиус вписанной окружности. r = (8 + 15 - 17)*корень(2)/2 = 3*корень(2); 

Теперь заметим, что искомое расстояние - это диагональ квадрата, образованного катетами и радиусами вписанной окружности, проведенными в точки касания катетов. Поэтому искомое расстояние равно r*корень(2) = 6;

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем фактом, что в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, радиус вписанной окружности перпендикулярен к сторонам треугольника в точках касания. Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), где \(a = 8\sqrt{2}\) и \(b = 15\sqrt{2}\).

Радиус вписанной окружности обозначим как \(r\), а расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной окружности обозначим как \(h\).

По известному свойству треугольника, площадь \(S\) может быть выражена двумя способами:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

Также, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр \(p\):

\[S = pr\]

Полупериметр \(p\) равен полусумме всех сторон треугольника:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

где \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника.

Так как \(c\) может быть найдено по теореме Пифагора, где \(c^2 = a^2 + b^2\), мы можем выразить \(c\) и затем найти \(p\).

Площадь треугольника также может быть выражена как сумма площадей трех треугольников, образованных радиусом вписанной окружности и сторонами треугольника:

\[S = S_1 + S_2 + S_3\]

Где \(S_1\), \(S_2\), и \(S_3\) - площади трех треугольников, образованных радиусом и сторонами треугольника.

Теперь мы можем записать уравнение:

\[\frac{1}{2}ab = pr = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh + \frac{1}{2}ch\]

Подставим известные значения:

\[8\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = \frac{1}{2}(8\sqrt{2})h + \frac{1}{2}(15\sqrt{2})h + \frac{1}{2}(17\sqrt{2})h\]

Упростим уравнение:

\[120 = 12h + 22h\]

\[120 = 34h\]

\[h = \frac{120}{34}\]

Таким образом, расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной окружности равно \(\frac{60}{17}\) или примерно \(3.53\).