Question

В треугольниках abc и a1b1c1 медианы bm и b1m1 равны, ab=a1b1, ac=a1c1. Докажите, что треугольник АВС= треугольнику А1В1С1

Answer 1

Т.к. ac=a1c1, и bm, b1m1 - медианы, то
am=cm=a1m1=c1m1.
Рассмотрим треугольники abm и a1b1m1. Они равны по трем сторонам:
- ab=a1b1 по условию;
- bm=b1m1 по условию;
- am=a1m1 как только что доказано.
У равных треугольников abm и a1b1m1 равны соответственные углы amb и a1m1b1. Значит, углы bmc и b1m1c1, равные 180-<amb и 180-<a1m1b1, также равны между собой.
Треугольники bmc и b1m1c1 будут равны по двум сторонам и углу между ними:
- bm=b1m1 по условию;
- сm=c1m1 как было показано выше;
- углы bmc и b1m1c1 равны как доказано выше.
У равных треугольников bmc и b1m1c1 равны соответственные стороны bc и b1c1.
Таким образом, треугольники abc и a1b1c1 получаются равными по трем сторонам. 

Answer 2

Дано: 1. В треугольниках ABC и A1B1C1 медианы BM и B1M1 равны. 2. AB = A1B1, AC = A1C1.

Нам нужно доказать, что треугольник ABC равен треугольнику A1B1C1.

Доказательство:

1. Из условия, медианы BM и B1M1 равны. Медиана это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Если медианы равны, то вершины M и M1 расположены на одной линии, и BM = B1M1.

2. Так как BM = B1M1, а AB = A1B1, то треугольники ABM и A1B1M1 равнобедренные. По свойству равнобедренного треугольника, медиана также является высотой. Таким образом, AM и A1M1 являются высотами треугольников ABM и A1B1M1 соответственно.

3. Значит, AM перпендикулярна BC, а A1M1 перпендикулярна B1C1.

4. Из условия AB = A1B1 и AC = A1C1 следует, что треугольники ABC и A1B1C1 являются равнобедренными.

5. Если треугольники равнобедренные и у них совпадают основания и высоты, то эти треугольники равны.

Таким образом, треугольник ABC равен треугольнику A1B1C1.