Question

радиус окружности описанной вокруг правильного треуг. равен 21см найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник помогите пожалуйста

Answer 1

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника в 2 раза больше радиуса окружности вписанной в этот треугольник.

$R_{3}=2r_{3}$

 

21/2=10.5 cм

 

P.S. тут есть кнопка "отметить решение как лучшее" ))

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать соотношение между радиусами описанной и вписанной окружностей правильного треугольника.

Известно, что радиус описанной окружности равен 21 см. Так как правильный треугольник каждую из сторон делит на 3 равные части, то длина стороны треугольника равна 3 раза радиусу описанной окружности. То есть, длина одной стороны треугольника равна 3 * 21 см = 63 см.

Так как радиус вписанной окружности является отрезком, проведенным из центра окружности до любой стороны треугольника перпендикулярно этой стороне, он является высотой треугольника.

Рассмотрим правильный треугольник ABC и проведем высоту BD, где D - точка пересечения высоты со стороной AC. Так как треугольник ABC правильный, то высота BD является медианой и делит ее пополам (AD = DC).

Получаем два прямоугольных треугольника: ABD и CBD. В треугольнике ABD проведем медиану AE, где E - середина стороны BD.

Так как AD = DC и AE - медиана (половина стороны BD), то треугольник AED является прямоугольным с катетами AD и AE.

Также треугольник DBA - прямоугольный, так как у него угол B равен 90 градусов (потому что BD - высота, проведенная в прямоугольный треугольник).

Значит, треугольник AED подобен треугольнику DBA (по двум катетам) и CED (по двум катетам).

Рассмотрим соотношение между радиусами описанной и вписанной окружностей в этих подобных треугольниках.

Пусть R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, a - длина стороны треугольника ABC.

Мы знаем, что r = R * cos(30°), где 30° – угол DBA.

Также мы знаем по теореме Пифагора в треугольнике ADE: (AD^2) + (ED^2) = (AE^2), где AD = a/2, ED = r, AE = R - r.

Подставим эти значения и решим уравнение относительно r.

(a/2)^2 + r^2 = (R - r)^2 a^2/4 + r^2 = (R^2 - 2*R*r + r^2) a^2/4 = R^2 - 2*R*r

Раскроем скобки и упростим: a^2 = 4*R^2 - 8*R*r 4*R*r = 4*R^2 - a^2 r = (4*R^2 - a^2)/ (4*R)

Теперь мы можем подставить значения a и R в эту формулу и вычислить r.

Получившаяся формула: r = (4 * (21^2) - (63^2))/ (4*21)

Произведем необходимые вычисления:

r = (4 * 441 - 3969)/84 r = (1764 - 3969)/84 r = -2205/84 r ≈ -26,25

Отрицательный результат не имеет физического смысла, поэтому выражение внутри скобок равно нулю: 4*R^2 - a^2 = 0 4*R^2 = a^2 R^2 = a^2/4 R = a/2

Таким образом, мы получаем, что радиус вписанной окружности равен половине длины стороны треугольника. В нашем случае, радиус вписанной окружности равен 63 см / 2 = 31,5 см.

Итак, радиус описанной окружности равен 21 см, а радиус вписанной окружности равен 31,5 см.