Question

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 5 см. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 12 см.

Answer 1

Решение:

Так как радиус окружности равен пяти, то высота равна 10. 
Площадь трапеции можно посчитать по формуле S=mh, где h- высота, m- средняя линия. (Т.к. средняя линия равна $\frac{a+b}{2}$, где а и b - основания трапеции).
Пусть r - радиус окружности.
$S=mh=2\cdot r \cdot m=2\cdot 5 \cdot 12 = 120$

Answer 2

Диаметр окружности=2r=10см и является высотой трапеции. Далее по формуле:
S=mh, где m-длина средней линии, h-высота трапеции, находим площадь.
S=12см*10см=120см²

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанной окружности. По определению, вписанная окружность треугольника касается его сторон в точках, являющихся серединами этих сторон. Аналогично, вписанная окружность трапеции касается её боковых сторон в точках, являющихся серединами этих сторон.

Пусть боковые стороны трапеции имеют длину a и c, а основания - более короткое b и более длинное d.

Так как трапеция равнобедренная, то a = c.

По свойству вписанной окружности, расстояние от каждой точки касания до ближайшего угла равно радиусу окружности r.

Тогда расстояние от середины средней линии трапеции до каждого угла равно 5 см.

Получаем два прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза равна 12/2 = 6 см, а один катет равен 5 см.

Применяя теорему Пифагора, находим второй катет: (5 см)^2 + (x)^2 = (6 см)^2 25 см^2 + x^2 = 36 см^2 x^2 = 36 см^2 - 25 см^2 x^2 = 11 см^2 x = √(11) см x ≈ 3.32 см

Так как a = c, то сторона трапеции равна a + b + c + d = 2a + b + d.

Так как средняя линия трапеции равна 12 см, то сумма оснований равна 2 * 12 см = 24 см.

Обозначаем дополнительное расстояние от каждого угла до оснований трапеции как y.

Теперь можем записать уравнение для стороны трапеции:

2 * (5 см + y) + b + d = 24 см

10 см + 2y + b + d = 24 см

b + d = 24 см - 10 см - 2y

b + d = 14 см - 2y

Так как боковые стороны равны, то b = d. Подставляем эту информацию в уравнение:

2b = 14 см - 2y

b = (14 см - 2y) / 2

b = 7 см - y

Теперь можем найти площадь трапеции.

Площадь трапеции выражается через её среднюю линию M и высоту h. S = M * h

Высота h равна расстоянию между параллельными основаниями, а это 2 * радиус вписанной окружности, то есть 2r.

Тогда h = 2 * 5 см = 10 см.

Теперь можем найти боковое ребро b.

b = 7 см - y, где y ≈ 3.32 см.

b = 7 см - 3.32 см = 3.68 см

Теперь можем найти площадь трапеции:

S = M * h = (a + b) / 2 * h = (a + (7 см - 3.32 см)) / 2 * 10 см

Так как a = c, то a + a = 24 см - b - b

2a = 24 см - 2b

a = (24 см - 2b) / 2

a = 12 см - b

Подставляем значения:

S = ((12 см - b) + (7 см - 3.32 см)) / 2 * 10 см

S = (12 см - 3.68 см + 7 см - 3.32 см) / 2 * 10 см

S = (25 см - 7 см) / 2 * 10 см

S = 18 см / 2 * 10 см

S = 9 см * 10 см

S = 90 см^2

Ответ: площадь трапеции равна 90 квадратным сантиметрам.