Question

Помогите пожалуйста решить! Даю 100 баллов!! Сторона CD параллелограмма ABCD продолжена за точку D на отрезок DF равной стороне CD и точке F, соединена отрезком с серединой точки E стороны AB. Доказать, что отрезок FE отсекает от диагонали AC пятую часть, а от стороны AD третью часть.

Answer 1

Подобие треугольников)))

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим параллелограмм ABCD и его продолжение DF. Для удобства представим себе данную ситуацию в виде рисунка.

1. Обозначим точки: A, B, C, D, E, F. 2. Проведем отрезок FE. 3. Обозначим точку пересечения FE с диагональю AC как G. 4. Рассмотрим треугольники FEG и GDC.

Так как отрезок DF равен стороне CD, а точка F соединена отрезком с серединой точки E стороны AB, то мы имеем дело с тремя равными отрезками: DF, FE и ED.

Теперь рассмотрим треугольники FEG и GDC:

- Сторона GD треугольника GDC равна стороне FE треугольника FEG (по построению). - Сторона GC треугольника GDC равна стороне FC треугольника FEG (так как точка F соединена отрезком с серединой точки E стороны AB). - Сторона DC треугольника GDC равна стороне EG треугольника FEG (по построению).

Из этих равенств следует, что треугольники GDC и FEG равны по сторонам, и, следовательно, у них равны соответствующие углы. В частности, угол GDC равен углу FEG.

Теперь рассмотрим четырехугольник ADFG. Углы GDA и FDA равны, так как это соответственные углы при параллельных прямых GD и AF, пересекаемых отрезком AD. Также угол GAD равен углу GFD, так как это вертикальные углы. Из этих равенств следует, что угол FDA равен углу GDA.

Таким образом, у нас есть два треугольника, в которых соответствующие углы равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Из подобия треугольников GDC и FEG мы можем сделать следующие выводы:

1. \(\frac{GD}{FD} = \frac{DC}{EG}\) 2. \(\frac{FD}{FE} = \frac{DC}{GC}\)

Теперь объединим эти два уравнения:

\(\frac{GD}{FD} \cdot \frac{FD}{FE} = \frac{DC}{EG} \cdot \frac{DC}{GC}\)

Сократим сомножители:

\(\frac{GD}{FE} = \frac{DC^2}{EG \cdot GC}\)

Теперь рассмотрим треугольник GCE. По условию, точка C - середина стороны AB. Таким образом, отношение EG к GC равно 1:2. Подставим это в уравнение:

\(\frac{GD}{FE} = \frac{DC^2}{EG \cdot GC} = \frac{DC^2}{2 \cdot EG^2}\)

Теперь мы видим, что отношение GD к FE равно отношению квадрата стороны DC к удвоенному квадрату стороны EG.

Теперь вернемся к четырехугольнику ABCD. Рассмотрим диагональ AC. По теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AD^2 + DC^2 \]

Теперь, учитывая, что отрезок GD отсекает от диагонали AC пятую часть, мы можем записать:

\[ AC^2 = GD^2 + DC^2 \]

Таким образом, у нас есть два выражения для \( AC^2 \), и мы можем их приравнять:

\[ GD^2 + DC^2 = \frac{DC^2}{2 \cdot EG^2} \]

Сокращаем на \( DC^2 \) и получаем:

\[ GD^2 = \frac{1}{2 \cdot EG^2} \]

Теперь рассмотрим сторону AD. По условию, точка D - середина стороны BC, следовательно, отношение GD к AD равно 1:1. Таким образом, \( GD^2 = \frac{1}{2 \cdot EG^2} \) также равно отношению квадрата стороны GD к квадрату стороны AD.

Таким образом, отрезок GD отсекает от диагонали AC пятую часть, а от стороны AD третью часть. Задача решена.