Question

Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ осевого сечения образует с образующей стороной угол 60 °. Найти диагональ осевого сечения цилиндра и его площадь.

Answer 1

Треугольник ADC прямоугольный.∠ CAD=30°, поэтому AC= 12  (CD половина гипотенузы, как катет напротив угла в 30°);
AD²=12²-6²=108;   AD=√(108). S =√(108)*6=36√3.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника.

Пусть диагональ осевого сечения образует угол 60° с образующей стороной, а высота цилиндра равна 6 см. Обозначим диагональ как d и образующую сторону как h.

Так как диагональ и образующая сторона образуют угол 60°, то получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой d и катетами 6 и h/2 (половина образующей стороны).

Применяя теорему Пифагора, получаем:

d² = (h/2)² + 6²

d² = h²/4 + 36

Также из условия задачи известно, что угол между диагональю и образующей стороной равен 60°. Используем косинус этого угла:

cos(60°) = (h/2) / d

1/2 = (h/2) / d

h/2 = d/2

h = d

Исключая h из уравнения, получаем:

d² = d²/4 + 36

3d²/4 = 36

3d² = 144

d² = 144/3

d² = 48

d = √48

d = 4√3

Таким образом, диагональ осевого сечения цилиндра равна 4√3 см.

Чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, воспользуемся формулой площади треугольника:

Площадь = (1/2) * (h/2) * d

Подставляем h = d = 4√3:

Площадь = (1/2) * (4√3/2) * 4√3

Площадь = 2√3 * 2√3

Площадь = 4 * 3

Площадь = 12 см²

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна 12 см².