Question

Диаметры AB и CD данного круга взаимно перпендикулярны. НА дуге ACB взяты произвольные точки P и Q, а внутри круга проведена дуга AB окружности с центром в точке D. Хорды DP и DQ пересекаются с этой дугой соответственно в точках M и N, точки P1 и Q1 - основания перпендикуляров, проведённых из точек P и Q к прямой AB. Докажите, что площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна площади треугольника DP1Q1

Answer 1

БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБЩНОСТИ достаточно доказать это, если точка Q совпадает с точкой C. 
На чертеже видно, что площадь NMPC равна 
Snmpc = Sdpc - Sdpn;
Имеются ввиду фигуры с указанными вершинами, ограниченные линиями, присутствующими на чертеже. К примеру, Sdpn - это площадь сектора окружности с центром в точке D. Радиус этой окружности DB = R√2; где R = OC; - радиус окружности с центром в точке О.
Фигура DPC радиусом OP делится на равнобедренный треугольник DOP и сектор меньшей окружности POC. 
Если принять ∠POC = α, то ∠MDN = α/2;
Если угол α измеряется в радианах, то в общем случае площадь сектора круга равна R^2*α/2 (если α = 2π; то получается площадь круга π*R^2)
Поэтому Snmpc = Sdpo + Spoc - Sdpn =
= R^2*sin(π - α)/2 + R^2*α/2 - (R√2)^2*(α/2)/2 = R^2*sin(α)/2; 
Поскольку высота PH = R*sin(α) = P1O (см. условие задачи про точку P1), то всё доказано.
Sdpo = Sdp1o;
Если точка Q не совпадает с C, то это просто означает
Sdpq = Sdpo + Sdqo (или минус, в зависимости от того, где точка Q)
 

Answer 2

Для доказательства равенства площадей криволинейного четырёхугольника PQNM и треугольника DP1Q1 воспользуемся геометрическими свойствами и определениями.

Определения:

- Диаметр: отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. - Хорда: отрезок, соединяющий две точки на окружности. - Центр окружности: точка, равноудаленная от всех точек окружности. - Основание перпендикуляра: точка пересечения перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой.

Доказательство:

1. По условию задачи, диаметры AB и CD взаимно перпендикулярны. Это означает, что диаметры AB и CD пересекаются под прямым углом. Обозначим точку пересечения диаметров как O.

2. Рассмотрим дугу ACB. Возьмем произвольные точки P и Q на этой дуге. Проведем хорду DP, которая пересекает дугу AB в точке M, и хорду DQ, которая пересекает дугу AB в точке N.

3. Также проведем перпендикуляры из точек P и Q к прямой AB и обозначим их основания как P1 и Q1 соответственно.

4. Чтобы доказать равенство площадей, мы можем воспользоваться методом подобия треугольников.

5. Рассмотрим треугольники DP1Q1 и DMN. Мы видим, что у этих треугольников общий угол D. Также мы знаем, что DP1 и DQ1 являются перпендикулярами к AB, а DM и DN являются хордами, пересекающими AB. Таким образом, треугольники DP1Q1 и DMN подобны.

6. Из подобия треугольников DP1Q1 и DMN следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть отношение длин сторон DP1 и DM равно отношению длин сторон DQ1 и DN.

7. Также мы можем заметить, что площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна разности площадей сектора AOB и треугольника DMN.

8. Из пункта 6 следует, что отношение площадей треугольников DP1Q1 и DMN равно квадрату отношения длин сторон DP1 и DM (или DQ1 и DN).

9. Поэтому отношение площадей треугольников DP1Q1 и DMN равно квадрату отношения площадей DP1 и DM (или DQ1 и DN).

10. Но, поскольку DP1 и DM являются высотами треугольников DP1Q1 и DMN, соответственно, отношение их площадей равно отношению их высот.

11. Значит, площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна площади треугольника DP1Q1.

Таким образом, мы доказали, что площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна площади треугольника DP1Q1.