
Диаметры AB и CD данного круга взаимно перпендикулярны. НА дуге ACB взяты произвольные точки P и Q,
а внутри круга проведена дуга AB окружности с центром в точке D. Хорды DP и DQ пересекаются с этой дугой соответственно в точках M и N, точки P1 и Q1 - основания перпендикуляров, проведённых из точек P и Q к прямой AB. Докажите, что площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна площади треугольника DP1Q1

Ответы на вопрос

На чертеже видно, что площадь NMPC равна
Snmpc = Sdpc - Sdpn;
Имеются ввиду фигуры с указанными вершинами, ограниченные линиями, присутствующими на чертеже. К примеру, Sdpn - это площадь сектора окружности с центром в точке D. Радиус этой окружности DB = R√2; где R = OC; - радиус окружности с центром в точке О.
Фигура DPC радиусом OP делится на равнобедренный треугольник DOP и сектор меньшей окружности POC.
Если принять ∠POC = α, то ∠MDN = α/2;
Если угол α измеряется в радианах, то в общем случае площадь сектора круга равна R^2*α/2 (если α = 2π; то получается площадь круга π*R^2)
Поэтому Snmpc = Sdpo + Spoc - Sdpn =
= R^2*sin(π - α)/2 + R^2*α/2 - (R√2)^2*(α/2)/2 = R^2*sin(α)/2;
Поскольку высота PH = R*sin(α) = P1O (см. условие задачи про точку P1), то всё доказано.
Sdpo = Sdp1o;
Если точка Q не совпадает с C, то это просто означает
Sdpq = Sdpo + Sdqo (или минус, в зависимости от того, где точка Q)



Для доказательства равенства площадей криволинейного четырёхугольника PQNM и треугольника DP1Q1 воспользуемся геометрическими свойствами и определениями.
Определения:
- Диаметр: отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. - Хорда: отрезок, соединяющий две точки на окружности. - Центр окружности: точка, равноудаленная от всех точек окружности. - Основание перпендикуляра: точка пересечения перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой.Доказательство:
1. По условию задачи, диаметры AB и CD взаимно перпендикулярны. Это означает, что диаметры AB и CD пересекаются под прямым углом. Обозначим точку пересечения диаметров как O.2. Рассмотрим дугу ACB. Возьмем произвольные точки P и Q на этой дуге. Проведем хорду DP, которая пересекает дугу AB в точке M, и хорду DQ, которая пересекает дугу AB в точке N.
3. Также проведем перпендикуляры из точек P и Q к прямой AB и обозначим их основания как P1 и Q1 соответственно.
4. Чтобы доказать равенство площадей, мы можем воспользоваться методом подобия треугольников.
5. Рассмотрим треугольники DP1Q1 и DMN. Мы видим, что у этих треугольников общий угол D. Также мы знаем, что DP1 и DQ1 являются перпендикулярами к AB, а DM и DN являются хордами, пересекающими AB. Таким образом, треугольники DP1Q1 и DMN подобны.
6. Из подобия треугольников DP1Q1 и DMN следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть отношение длин сторон DP1 и DM равно отношению длин сторон DQ1 и DN.
7. Также мы можем заметить, что площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна разности площадей сектора AOB и треугольника DMN.
8. Из пункта 6 следует, что отношение площадей треугольников DP1Q1 и DMN равно квадрату отношения длин сторон DP1 и DM (или DQ1 и DN).
9. Поэтому отношение площадей треугольников DP1Q1 и DMN равно квадрату отношения площадей DP1 и DM (или DQ1 и DN).
10. Но, поскольку DP1 и DM являются высотами треугольников DP1Q1 и DMN, соответственно, отношение их площадей равно отношению их высот.
11. Значит, площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна площади треугольника DP1Q1.
Таким образом, мы доказали, что площадь криволинейного четырёхугольника PQNM равна площади треугольника DP1Q1.


Топ вопросов за вчера в категории Геометрия
Последние заданные вопросы в категории Геометрия
-
Математика
-
Литература
-
Алгебра
-
Русский язык
-
Геометрия
-
Английский язык
-
Химия
-
Физика
-
Биология
-
Другие предметы
-
История
-
Обществознание
-
Окружающий мир
-
География
-
Українська мова
-
Информатика
-
Українська література
-
Қазақ тiлi
-
Экономика
-
Музыка
-
Право
-
Беларуская мова
-
Французский язык
-
Немецкий язык
-
МХК
-
ОБЖ
-
Психология
-
Физкультура и спорт
-
Астрономия
-
Кыргыз тили
-
Оʻzbek tili