Question

Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны БЕТА. а) докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание.б) докажите, что проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и найдите их длину.

Answer 1

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.
Следовательно, двугранный угол при основании пирамиды равен линейному углу между высотой грани и ее проекцией на основание. Эта проекция - отрезок, соединяющий точку О, в которую проецируется высота пирамиды на основание пирамиды. Раз все двугранные углы равны, значит равны и эти отрезки и мы доказали пункт б).
Равенство этих проекций доказывает, что  точка О равноудалена от сторон треугольника. Это значит, что точка О - центр вписанной окружности в основание треугольника, то есть доказан пункт а).
Найдем длину проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, или, как мы доказали, радиус вписанной в основание пирамиды окружности.
В равнобедренном треугольнике АВС BН - его высота, АН=НС=а/2.
Тогда АВ=АН/Cosα или AB=a/(2Cosα). BH=AB*Sinα или BH=a*Sinα/(2Cosα)=(а/2)*tgα.
Sabc=(1/2)*AC*BH или Sabc=(а/2)*(а/2)*tgα=(а²/4)*tgα.
Есть формула площади треугольника: S=p*r, где р - полупериметр,
r - радиус вписанной окружности. Тогда r=S/p или r=[(а²/4)*tgα]/p. p=2*AB+AC. Или
р=2*a/(2Cosα)+а=a/Cosα+а=а((1/Cosα)+1)=(а*(1+Cosα))/Cosα.
r=[(а²/4)*tgα]/[(а*(1+Cosα))/Cosα] или r=a*Sinα/[4(1+Cosα)].
Ответ: r=a*Sinα/[4(1+Cosα)].

Answer 2

а) Для доказательства, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание, мы можем воспользоваться следующими свойствами равнобедренного треугольника:

1) Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на перпендикуляре, проведенном к основанию треугольника из его вершины.

2) Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Из свойства 1 следует, что высота пирамиды проходит через вершину пирамиды и центр окружности, вписанной в ее основание. Из свойства 2 следует, что высота пирамиды проходит через середину основания пирамиды. Так как эти две прямые совпадают, можно заключить, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание.

б) Чтобы найти длину проекции высот боковых граней на плоскость основания, мы можем воспользоваться следующим свойством пирамиды:

В прямой пирамиде высота, проходящая через вершину пирамиды и основание, делит все боковые грани равнобедренного треугольника на равные отрезки.

Таким образом, проекции высот боковых граней на плоскость основания равны между собой и составляют половину высоты пирамиды. Поэтому длина проекции высоты каждой боковой грани равна половине высоты пирамиды.