Question

В параллелограмме ABCD проведена средняя линия MN (M – середина AB, N – середина CD). Точка P делит отрезок BC в отношении 1:3 (считая от точки B), Q делит отрезок AD в отношении 2:3 (считая от точка А), O – пересечение PQ и MN. Найдите отношение MO к ON.

Answer 1

Возможно, кому-то пригодится решение - привожу своё:
Пусть BC=AD=aBC=AD=a, тогда из условия BP=a/4,PC=3a/4,AQ=2a/5,QD=3a/5BP=a/4,PC=3a/4,AQ=2a/5,QD=3a/5. MOMO и ONON найдём как средние линии трапеций ABPQABPQ и QPCDQPCD соответственно.
MO=12(a4+2a5)=1213a20ON=12(3a4+3a5)=1227a20MO=12(a4+2a5)=1213a20ON=12(3a4+3a5)=1227a20Отношение выходит 13:2713:27.

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойствами параллелограмма и пропорциями.

Так как точка m является серединой стороны ab, то аналогично точка n является серединой стороны cd. Это означает, что медиана mn является средней линией параллелограмма и проходит через их точки пересечения.

Точка p делит отрезок bc в отношении 1:3, а точка q делит отрезок ad в отношении 2:3. Это означает, что отношение bp к pc равно 1:3, а отношение aq к qd равно 2:3.

По свойству медианы параллелограмма, медиана между точками p и n делит отрезок mn в том же отношении, что и сторона bc. То есть отношение mp к pn также будет равно 1:3.

Аналогично, медиана между точками q и n делит отрезок mn в отношении 2:3, как и сторона ad. То есть отношение nq к qo также будет равно 2:3.

Таким образом, у нас получается две пары отношений: mp к pn равно 1:3 и nq к qo равно 2:3.

Чтобы найти отношение mo к on, нужно сложить эти две пары отношений:

mp:pn = 1:3 nq:qo = 2:3

Суммируем их: mp + nq : pn + qo = 1:3 + 2:3

Общий знаменатель у этих дробей равен 3, поэтому можем записать: 3mp + 3nq : 3pn + 3qo = 1 + 2 : 3

Упрощаем: 3(mp + nq) : 3(pn + qo) = 3 : 3

Получаем: mp + nq : pn + qo = 1 : 1

Таким образом, отношение mo к on равно 1:1.