Question

Дан параллелограмм, в нем проведены 2 диагонали AC и BD они пересекаются в точке M. Докажите что площадь ABCD равна 4 треугольникам АВМ

Answer 1

Диагонали в точке пересечения делятся пополам, синусы смежных углов равны, площадь тр-ка равна половине произведению сторон на синус угла между ними, значит площадь тр-ка АВD = АСD

Sabm = Scdm = AB*h1/2 = Sbmc = Samd = AD*h2/2

Sabcd = 4*Sabm

Answer 2

Для доказательства того, что площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей четырех треугольников АВМ, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства треугольников.

Свойство параллелограмма:

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что сторона AB равна стороне CD, а сторона BC равна стороне AD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник АВМ. Его площадь обозначим как S1. 2. Рассмотрим треугольник ВМС. Его площадь обозначим как S2. 3. Рассмотрим треугольник СМD. Его площадь обозначим как S3. 4. Рассмотрим треугольник ДМА. Его площадь обозначим как S4.

Шаг 1: Доказательство S1 = S3

- Мы знаем, что сторона AB равна стороне CD, а сторона BM равна стороне DM (по свойству параллелограмма). - Также мы знаем, что диагонали AC и BD пересекаются в точке M. - Из этих двух фактов следует, что треугольники АВМ и СМD равны по гипотенузе и катету (по сторонам). - Поэтому площадь треугольника АВМ (S1) равна площади треугольника СМD (S3).

Шаг 2: Доказательство S2 = S4

- Мы знаем, что сторона BC равна стороне AD, а сторона BM равна стороне DM (по свойству параллелограмма). - Также мы знаем, что диагонали AC и BD пересекаются в точке M. - Из этих двух фактов следует, что треугольники ВМС и ДМА равны по гипотенузе и катету (по сторонам). - Поэтому площадь треугольника ВМС (S2) равна площади треугольника ДМА (S4).

Шаг 3: Доказательство S1 + S2 + S3 + S4 = площади ABCD

- Мы знаем, что треугольники АВМ, ВМС, СМD и ДМА не перекрываются и образуют внутри параллелограмма ABCD. - Таким образом, площадь ABCD равна сумме площадей треугольников АВМ, ВМС, СМD и ДМА. - Из шагов 1 и 2 следует, что S1 = S3 и S2 = S4. - Поэтому S1 + S2 + S3 + S4 = S1 + S3 + S2 + S4. - Таким образом, площадь ABCD равна сумме площадей треугольников АВМ, ВМС, СМD и ДМА.

Итак, мы доказали, что площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей четырех треугольников АВМ.