Question

Биссектрисы aa1 и bb1 пересекаются в точке O . найдите отношение площадей треугольников aoc и boc, если A C равно 8 см BC равно 6 см Помогите!!! Срочно нужно!!!

Answer 1

По скольку все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, CO - тоже биссектриса. Если из точки O опустить перпендикуляры к сторонам AC и BC, они будут равны, так как все точки, лежащие на биссектрисе, равноудалены от сторон угла, который она разделяет пополам. Эти перпендикуляры будут высотами в искомых треугольниках. Стало быть, их площади будут половиной произведения высоты на соответствующую сторону (AC или BC). Значит, площади будут относиться как 8 / 6.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробно. У нас есть треугольники \(ABC\), где \(AB = 6\) см, \(AC = 8\) см, и биссектрисы \(AA_1\) и \(BB_1\), пересекающиеся в точке \(O\). Обозначим точку пересечения биссектрисы \(AA_1\) и \(BB_1\) как \(O\).

Теперь мы хотим найти отношение площадей треугольников \(AOC\) и \(BOC\).

Первым шагом рассмотрим треугольник \(AOC\). Поскольку \(AA_1\) - биссектриса, она делит угол \(BAC\) на два равных угла, и, следовательно, угол \(BOA\) тоже делится на два равных угла.

Теперь у нас есть два подтреугольника внутри треугольника \(BOA\): \(BOC\) и \(AOC\). Отношение площадей треугольников равно отношению квадратов их соответствующих сторон.

Пусть \(h_1\) - высота из вершины \(O\) на сторону \(BC\) в треугольнике \(BOC\), а \(h_2\) - высота из вершины \(O\) на сторону \(AC\) в треугольнике \(AOC\).

Тогда площади треугольников \(BOC\) и \(AOC\) можно выразить следующим образом:

\[S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1\]

\[S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2\]

Отношение площадей будет равно:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1}\]

Теперь мы знаем, что биссектрисы делят соответствующие углы \(B\) и \(A\) пополам. По теореме биссектрисы:

\[\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{AC}\]

Теперь мы можем заменить \(h_1/h_2\) в выражении для отношения площадей:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{h_1}{h_2}}{\frac{1}{2} \cdot BC} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{AB}{AC}}{\frac{1}{2} \cdot BC}\]

Теперь упростим это выражение:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB}{\frac{1}{2} \cdot BC}\]

Таким образом, отношение площадей треугольников \(AOC\) и \(BOC\) равно отношению длин сторон \(AB\) и \(BC\):

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{AB}{BC}\]

Подставим значения длин сторон из условия задачи: \(AB = 6\) см, \(BC = 8\) см.

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

Таким образом, отношение площадей треугольников \(AOC\) и \(BOC\) равно \(\frac{3}{4}\).