Question

В параллелограмме АBCD биссектриса острого угла С пересекает сторону АD в точке М, а продолжение стороны АВ в точке К. КМ : МС = 2 : 3. Найдите стороны параллелограмма АВСD, если его периметр = 48 см

Answer 1

 Пусть DC = a, AD = b, P = 2(a+b) = 48, отсюда a+b = 24.
В ΔMDC MD = DC = a, (т.к. MC - биссектриса и ∠BCM = ∠CMD как внутр. накрест лежащ. при параллельных BC и AD  и секущей CM).
ΔCMD подобен ΔKMA по двум углам (∠A = ∠C как внутр. накр. лежащ. при параллельн прям. AB и CD и секущ. KC; ∠CMD = ∠AMK как вертикальн.).
Из подобия следует:
KM / MC = AM / MD
2 / 3 = (b-a) / a
Составляем систему уравнений:
(b-a) / a = 2/3
a + b = 24
выражаем а из второго подставляем в первое, получаем b = 15, a = 9

Answer 2

Пусть сторона АВ параллелограмма равна а, сторона ВС равна b, а сторона АD равна c.

Так как биссектриса угла С делит сторону АD в отношении 2:3, то можно записать следующее:

МС/КМ = 2/3

Так как МС + КМ = КС (так как КМ и МС являются отрезками стороны АВ), то можно записать следующее:

2КМ + 3КМ = КС

Так как КС = а + с (так как КС является стороной параллелограмма АВСD), то можно записать следующее:

5КМ = а + с

Также известно, что периметр параллелограмма равен 48 см:

2(а + b) = 48 а + b = 24

Теперь у нас есть система уравнений:

5КМ = а + с а + b = 24

Решим ее методом подстановки.

Из второго уравнения получаем, что b = 24 - а.

Подставляем это значение в первое уравнение:

5КМ = а + с 5КМ = а + (24 - а) 5КМ = 24 КМ = 24/5

Теперь зная значение КМ, мы можем найти значения а и с:

а + с = 5КМ а + с = 5(24/5) а + с = 24

Теперь мы знаем, что а + с = 24. Также у нас есть уравнение а + b = 24. Подставим значение b из этого уравнения в уравнение а + с = 24:

а + (24 - а) = 24 24 = 24

Получаем, что a = 0. Так как стороны параллелограмма не могут быть равны нулю, то данная система уравнений не имеет решений.

Следовательно, невозможно найти стороны параллелограмма АВСD, если его периметр равен 48 см и отношение КМ:МС = 2:3.