Question

У трапеції ABCD з основами BC і AD відомо, що кутCAD=кутуBDA Доведіть що дана трапеція рівнобічна.

Answer 1

1. Зробимо малюнок.
2. Побудуємо діагоналі. O — точка їхнього перетину.
3. ∠DBC = ∠BDA як різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній BD.
4. ∠BCA і ∠DAC рівні за такою ж логікою. Отже, ∠DBC = ∠BCO.
5. Розглянемо ΔOBC. В нього два рівних кута, а отже, є рівними й сторони, що їм протилежні: BO=CO.
6. В ΔAOD за такою ж логікою AO=OD.
7. Розглянемо ΔABO і ΔDOC. В них BO=OC, AO=OD, а ∠BOA й ∠COD рівні як вертикальні. Отже, ці трикутники рівні за першою ознакою рівності, а отже, AB=CD, що і треба було довести.

Answer 2

Для доведення, що дана трапеція є рівнобічною, нам потрібно показати, що її сторони і кути є рівними.

Оскільки відомо, що кут CAD дорівнює куту BDA, ми можемо скористатися властивістю паралельних прямих, що кути, утворені з однією і тією ж парою паралельних прямих і висячі на них, є взаємно додатними. Таким чином, ми можемо стверджувати, що кути C и B теж є рівними, адже BC і AD є основами трапеції.

Оскільки ми вже з'ясували, що кути C і B є рівними, то нам лише залишається показати, що сторони AB і CD теж є рівними. Однак, оскільки AD і BC є основами трапеції, то вони, за визначенням, є паралельними. Тому, за властивістю паралельних прямих, AB = CD.

Таким чином, ми показали, що кути та сторони трапеції abcd є рівними, отже, ця трапеція є рівнобічною.