Question

В окружности с центром 0 проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF=NK. Докажите, что MNK=MNF

Answer 1

Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90 градусов.
Углы К и F следовательно равны 90 градусов.
Треугольники MKN и MFN - прямоугольные.
Они равны по общей гипотенузе и катету KN = FN.
А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.
Против стороны FN лежит угол FMN, а против стороны KN лежит угол KMN.
Стороны равны, значит равны и углы. Но, если 2 угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы у них равны.
Значит, угол MNF равен углу MNK.

Answer 2

Дано: окружность с центром в точке O, диаметр MN и хорды NF и NK, при этом NF = NK.

Чтобы доказать, что угол MNK равен углу MNF, мы можем воспользоваться свойствами хорд и центральными углами.

1. Свойство хорды: Если из точки вне окружности провести две хорды, то они будут равны по длине, если расстояние от точки до центра окружности одинаково.

Исходя из условия, мы имеем, что NF = NK, а точки F и K лежат на одинаковом расстоянии от центра O (так как обе хорды проведены от центра). Таким образом, NF = NK, и хорды равны.

2. Центральный угол: Центральный угол, стягивающий дугу, равен углу, образованному хордой и касательной, проведенной в конечной точке этой хорды.

Поскольку NF и NK равны, то центральные углы, образованные этими хордами, равны. Обозначим этот угол как угол NOF.

3. Угол между хордой и диаметром: Угол между хордой и диаметром встречается в два раза меньше центрального угла, опирающегося на эту хорду.

Таким образом, угол MON (где N - точка на хорде NF) в два раза меньше угла NOF.

Теперь рассмотрим углы MNF и MNK:

- Угол MNF равен углу MON, так как они соответственно опираются на одну и ту же дугу NF. - Угол MNK также равен углу MON, так как NK равно NF (по условию), и угол опирается на ту же дугу NK.

Таким образом, углы MNF и MNK равны. Мы доказали, что \( \angle MNK = \angle MNF \).