Question

з точки до площини проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути по 45 градусів. Знайдіть кут між похилими, якщо кут між їх проекціями дорівнює 90 градусів

Answer 1

Проекції цих похилих будуть рівні між собою і будуть рівні перпендикуляру опущеного з тієї ж точки. Значить похилі і відрізок, що зєднує кінці проекцій теж рівні між собою і утворюють рівносторонній трикутник у якому всі кути по 60 градусів.

Відповідь: 60

Answer 2

Спробую пояснити розв'язок вашого завдання. Для зручності назвемо похилі AB і BC, а площину - площиною ABC.

1. Кути між похилими і їх проекціями: - Кут між похилою AB і її проекцією на площину ABC: 45 градусів. - Кут між похилою BC і її проекцією на площину ABC: 45 градусів. - Кут між проекціями похилих AB і BC: 90 градусів (за умовою).

2. Тепер знайдемо кут між самими похиліми.

Для цього можна скористатися теоремою косинусів для трикутника ABC. Позначимо кут між похилими як C.

З теореми косинусів маємо: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

Де: - \( c \) - довжина сторони протилежної до кута C (відома: \( c = AB \)), - \( a \) і \( b \) - довжини інших двох сторін (відомі: \( a = BC \), \( b = AC \)).

Підставимо відомі значення: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cos(C) \]

Відомо, що \( AC = BC \) (відносно кута 45 градусів).

Підставимо це значення: \[ AB^2 = BC^2 + BC^2 - 2 \cdot BC^2 \cos(C) \] \[ AB^2 = 2 \cdot BC^2 - 2 \cdot BC^2 \cos(C) \]

Спростимо вираз: \[ AB^2 = 2 \cdot BC^2 \cdot (1 - \cos(C)) \] \[ 1 - \cos(C) = \frac{AB^2}{2 \cdot BC^2} \]

Знаючи, що \(\cos(45 градусів) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), підставимо це значення: \[ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AB^2}{2 \cdot BC^2} \]

Знайдемо \(\cos(C)\): \[ \cos(C) = \frac{2 \cdot BC^2 - AB^2}{2 \cdot BC^2} \] \[ \cos(C) = 1 - \frac{AB^2}{2 \cdot BC^2} \] \[ \cos(C) = 1 - \frac{1}{2} \] \[ \cos(C) = \frac{1}{2} \]

Тепер знаходимо кут \(C\): \[ C = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \] \[ C = 60 градусів \]

Отже, кут між похилими становить 60 градусів.