Question

в треугольнике с вершинами в точках А(3;-2;1), В(3;0;2) и С(1;2;5) уголобразованный медианой ВМ и стороной АС равен

Answer 1

Находим координаты точки М: это середина отрезка АС, значит координаты- полусумма соответствующих координат: (2;0;3)

находим координаты вектора ВМ. вычисляя координаты мы вычитаем из координат конца вектора соответствующие координаты точки начала вектора, получаем {-1;0;1}

вычисляем координаты вектора АС по тому же принципу, получаем {-2;4;4}

вычисляем скалярное произведение этих двух векторов по формуле, содержащей сумму произведений соответствующих координат векторов, получаем 6.

вычисляем скалярное произведение по другой формуле, содержащей произведение длин векторов и косинуса угла между ними. Получаем: 6*корень из двух*косинус между векторами АС и ВМ. 

Приравниваем два этих ответа и получаем, что косинус равен корень из двух делить на два. это табличное значение косинуса, поэтому угол между вкторами равено 45 градусам

 

ответ: 45 градусов

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать различные подходы, включая вычисление длин сторон и использование теоремы косинусов. Давайте рассмотрим два подхода.

Подход 1: Вычисление длин сторон Мы можем начать с вычисления длин сторон треугольника. Для этого нам понадобятся координаты вершин треугольника:

A(3, -2, 1) B(3, 0, 2) C(1, 2, 5)

1. Вычисление длин сторон: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((3-3)^2 + (0-(-2))^2 + (2-1)^2) = √(0 + 4 + 1) = √5 BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((1-3)^2 + (2-0)^2 + (5-2)^2) = √((-2)^2 + 2^2 + 3^2) = √4 + 4 + 9 = √17 CA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((1-3)^2 + (2-(-2))^2 + (5-1)^2) = √((-2)^2 + 4^2 + 4^2) = √4 + 16 + 16 = √36 = 6

2. Найдем координаты точки М, которая является серединой стороны BC: М(x, y, z) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2) = ((1 + 3)/2, (2 + 0)/2, (5 + 2)/2) = (2, 1, 7/2)

3. Теперь мы можем вычислить длину стороны ВМ: BM = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((2-3)^2 + (1-0)^2 + (7/2-2)^2) = √((-1)^2 + 1^2 + (7/2 - 4)^2) = √1 + 1 + (1/2)^2 = √2.25 = 1.5

Теперь у нас есть длины сторон треугольника и мы можем использовать теорему косинусов для вычисления угла между стороной АС и медианой ВМ.

Подход 2: Использование теоремы косинусов Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти угол C:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(C)

Подставим известные значения:

6^2 = 5^2 + 17^2 - 2 * 5 * 17 * cos(C)

36 = 25 + 289 - 170 * cos(C)

36 - 25 - 289 = -170 * cos(C)

-278 = -170 * cos(C)

cos(C) = -278 / -170 = 1.6353

Теперь мы можем найти значение угла С, используя обратную функцию косинуса:

C = arccos(1.6353) ≈ 0.5203 радиан ≈ 29.8 градусов

Таким образом, угол между медианой ВМ и стороной АС составляет примерно 29.8 градусов.