Question

Биссектриса прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу, равную 13 см, в отношении 5/12. Какова площадь прямоугольного треугольника?

Answer 1

Решение во вложенном файле.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы и прямоугольного треугольника.

По определению, биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на две части, пропорциональные длинам катетов. В данном случае, гипотенуза равна 13 см, а отношение длин катетов составляет 5/12.

Пусть x будет длиной первого катета, а y - длиной второго катета. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

x/y = 5/12

Мы также знаем, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы по теореме Пифагора:

x^2 + y^2 = 13^2

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Умножим оба выражения первого уравнения на 12y, чтобы избавиться от дробей:

12xy/12 = 5y/12 * 12y 12xy = 5y^2

Теперь мы можем заменить x во втором уравнении на (5y/12), чтобы получить уравнение с одной переменной:

(5y/12)^2 + y^2 = 13^2 25y^2/144 + y^2 = 169 25y^2 + 144y^2 = 169 * 144 169y^2 = 169 * 144 y^2 = 144 y = 12

Таким образом, второй катет равен 12 см. Теперь мы можем найти первый катет, используя первое уравнение:

x/y = 5/12 x/12 = 5/12 x = 5

Таким образом, первый катет равен 5 см.

Теперь, когда у нас есть длины катетов, мы можем найти площадь прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов:

Площадь = (1/2) * x * y Площадь = (1/2) * 5 * 12 Площадь = 30 кв. см

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 30 квадратным сантиметрам.