Question

Дан шар с центром О. На касательной к нему плоскости три точки A, B, и C расположены так, что образуют правильный тетраэдр ОABC с ребром 5√6. Найти объем шара.

Answer 1

В этой связке шара и правильного тетраэдра радиус шара, проведённый к точке касания поверхности сферы плоскостью, равен высоте тетраэдра. R=h.
В правильном тетраэдре основанием высоты является центр окружности, описанной около основания.
r=a/√3=5√6/√3=5√2.
В прямоугольном тр-ке, образованном высотой тетраэдра, боковым ребром и найденным радиусом, высота равна: h=√(a²-r²),
h=√((5√6)²-(5√2)²)=√(150-50)=10.
Объём шара: V=4πR³/3=4000π/3≈1333.3π - это ответ.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойство тетраэдра, который образуется на основе шара и трех точек на его касательной плоскости. В данном случае, мы имеем правильный тетраэдр ОABC, где ребро равно 5√6.

Для начала, давайте найдем высоту тетраэдра. Высота тетраэдра - это перпендикуляр, опущенный из вершины тетраэдра на основание. В данном случае, основание - это треугольник ABC.

Чтобы найти высоту, нам понадобится знать длину бокового ребра и радиус описанного окружности треугольника ABC. В правильном тетраэдре, высота равна радиусу окружности, описанной вокруг основания.

Для нахождения радиуса описанной окружности, мы можем использовать формулу:

r = a / (2 * sin(π/3))

где r - радиус описанной окружности, а - длина стороны треугольника ABC.

В данном случае, длина стороны треугольника ABC равна 5√6. Подставляя это значение в формулу, мы получаем:

r = (5√6) / (2 * sin(π/3))

Теперь, найдя радиус описанной окружности, мы можем найти высоту тетраэдра, которая равна радиусу описанной окружности. Подставляя значения, мы получаем:

h = (5√6) / (2 * sin(π/3))

Теперь, чтобы найти объем тетраэдра, мы можем использовать формулу:

V = (1/3) * A * h

где V - объем тетраэдра, A - площадь основания, h - высота.

Площадь основания можно найти, используя формулу Герона для треугольника, так как мы знаем длины сторон треугольника ABC:

A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

где s - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника ABC.

В данном случае, полупериметр треугольника равен:

s = (a + b + c) / 2 = (5√6 + 5√6 + 5√6) / 2 = 7.5√6

Подставляя значения в формулу площади основания, мы получаем:

A = √(7.5√6 * (7.5√6 - 5√6) * (7.5√6 - 5√6) * (7.5√6 - 5√6))

Теперь, подставляя значения в формулу объема тетраэдра, мы можем найти объем:

V = (1/3) * A * h

Подставляя значения, мы получаем:

V = (1/3) * √(7.5√6 * (7.5√6 - 5√6) * (7.5√6 - 5√6) * (7.5√6 - 5√6)) * (5√6 / (2 * sin(π/3)))

Применяя математические операции, мы можем вычислить значение объема.