Question

Основанием прямой призмы служит параллелограмм , стороны которого равны 13 и 15 , а высота 12. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найти диагональ призмы. СПАССИИИБОООО БОЛЬШОООООООЕ

Answer 1

Обозначим призму ABCDD1A1B1C1
АВ=CD=13, ВС=AD=15, высота параллелограмма ВН=12. 
Чтобы найти меньшую диагональ призмы, нужно найти длину диагонали  BD в основании призмы.
 Из ∆ АВН катет АН=5 ( проверьте т.Пифагора). 
Тогда НD=10, и BD=√(BH²+HD²)=√244=2√61
Из ∆ BDB1 гипотенуза (и меньшая диагональ призмы)
B1D=BD:sin45°=2√61:√2/2=2√122

Answer 2

Давайте обозначим основание прямой призмы параллелограммом ABCD, где AB = 13, BC = 15, и высота призмы h = 12. Также, обозначим меньшую диагональ параллелограмма как AC, а угол между этой диагональю и плоскостью основания как α = 45 градусов.

Мы знаем, что площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:

\[S_{\text{параллелограмма}} = AB \cdot h.\]

Так как параллелограмм - основание прямой призмы, его площадь также равна площади основания призмы.

\[S_{\text{основания призмы}} = AB \cdot h.\]

Теперь, мы также можем выразить площадь параллелограмма через его диагонали. Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей:

\[S_{\text{параллелограмма}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD.\]

Теперь у нас есть два выражения для площади параллелограмма, и мы можем их приравнять:

\[AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD.\]

Подставим известные значения:

\[13 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD.\]

Решим это уравнение относительно AC и BD:

\[AC \cdot BD = 2 \cdot 13 \cdot 12.\]

Теперь, у нас есть прямоугольник ABCD, и мы знаем, что угол между меньшей диагональю AC и плоскостью основания равен 45 градусам.

Теперь воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника, где гипотенуза (AC) соответствует стороне прямоугольника, а высота (h) - прилегающему к этой стороне катету.

\[AC = h \cdot \tan(\alpha).\]

Подставим известные значения:

\[AC = 12 \cdot \tan(45^\circ).\]

Так как \(\tan(45^\circ) = 1\), то \(AC = 12\).

Теперь мы можем найти вторую диагональ:

\[BD = \frac{2 \cdot 13 \cdot 12}{AC} = \frac{2 \cdot 13 \cdot 12}{12} = 26.\]

Таким образом, длина большей диагонали призмы BD равна 26.