Question

В тупоугольном треугольнике АОВ точка пересечения высот находится за его пределами.Расстояние от этой точки до вершины О равно 25мм.Сторона АВ,противолежащая тупому углу,равна 60мм.Нвйдите площадь невыпуклого четырехугольника АОВМ

Answer 1

Высота треугольника пересекаются в одной точке, называемой отроцентром треугольника, значит высота ОК, проведённая к стороне АВ, проходит через точку М, следовательно МО⊥АВ.
В треугольнике АМО высота, проведённая к стороне МО равна АК, а в треугольнике ВМО такая же высота равна ВК.
S(АМО)=МО·АК/2=25·АК/2=12.5АК,
S(ВМО)=МО·ВК/2=12.5ВК.

S(АОВМ)=S(АМО)+S(ВМО)=12.5(АК+ВК)=12.5АВ=12.5·60=750 мм² - это ответ.

-------------------------------
Можно рассмотреть четырёхугольник АОВМ. В нём МО и АВ - диагонали, они перпендикулярны. S(АОВМ)=(d1·d2·sinα)/2=(MO·AB·sin90)/2=25·60·1/2=750 мм².

Answer 2

Для решения этой задачи важно использовать свойства тупоугольного треугольника и высот. Обозначим точки следующим образом:

- \( A, B, O, V \) - вершины треугольника. - \( M \) - точка пересечения высот. - \( h \) - высота треугольника из точки \( O \).

Известно, что \( AB = 60 \) мм, а расстояние от точки \( M \) до вершины \( O \) равно \( 25 \) мм. Обозначим \( AO = x \). Тогда \( BO = 60 - x \).

Так как точка \( M \) - это точка пересечения высот, она делит высоту \( h \) треугольника на две части, пропорциональные сторонам, на которые эта высота опущена. Таким образом, можно написать следующее уравнение:

\[ \frac{h - 25}{h} = \frac{x}{60} \]

Теперь нужно выразить \( h \) через \( x \). Решим уравнение:

\[ h - 25 = \frac{x}{60} \cdot h \]

\[ h - \frac{x}{60} \cdot h = 25 \]

\[ h \left(1 - \frac{x}{60}\right) = 25 \]

\[ h = \frac{25}{1 - \frac{x}{60}} \]

Теперь у нас есть выражение для высоты треугольника через \( x \). Так как треугольник тупоугольный, площадь можно найти по формуле:

\[ S_{\triangle AOV} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot h \]

Подставим выражение для \( h \):

\[ S_{\triangle AOV} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{25}{1 - \frac{x}{60}} \]

Теперь нужно добавить площадь четырехугольника \( AOVN \), где \( N \) - основание высоты, проведенной из вершины \( V \). Площадь такого четырехугольника можно найти как разность площадей двух треугольников: \( \triangle VON \) и \( \triangle AOV \).

Площадь треугольника \( \triangle VON \) можно найти, используя формулу для площади треугольника:

\[ S_{\triangle VON} = \frac{1}{2} \cdot VN \cdot h \]

Так как треугольник \( \triangle VON \) -- это прямоугольный треугольник, можно использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину его сторон:

\[ VN = \sqrt{VO^2 - ON^2} = \sqrt{VO^2 - (AO - AN)^2} \]

Теперь мы можем выразить \( VN \):

\[ VN = \sqrt{(60 - x)^2 - \left(\frac{25}{1 - \frac{x}{60}}\right)^2} \]

Теперь можем найти площадь треугольника \( \triangle VON \) и выразить площадь четырехугольника \( AOVN \):

\[ S_{AOVN} = S_{\triangle VON} - S_{\triangle AOV} \]

\[ S_{AOVN} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(60 - x)^2 - \left(\frac{25}{1 - \frac{x}{60}}\right)^2} \cdot \frac{25}{1 - \frac{x}{60}} - \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{25}{1 - \frac{x}{60}} \]

Теперь у нас есть выражение для площади четырехугольника \( AOVN \). Можем сложить его с площадью треугольника \( AOV \) для получения общей площади четырехугольника \( AOVN \):

\[ S_{AOVN} = S_{\triangle AOV} + S_{AOVN} \]

Подставим значение для \( S_{\triangle AOV} \):

\[ S_{AOVN} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{25}{1 - \frac{x}{60}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(60 - x)^2 - \left(\frac{25}{1 - \frac{x}{60}}\right)^2} \cdot \frac{25}{1 - \frac{x}{60}} - \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{25}{1 - \frac{x}{60}} \]

Теперь вы можете упростить это выражение и вычислить численное значение.