Question

Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним.Решение с чертежом

Answer 1

Проведем в тр. АВС биссектрисы углов А и В: АК и ВМ. О - точка пересечения биссектрис.. Пусть угол, смежный углу С -  х., а острый угол между биссектрисами: ВОК = АОМ = а.

Найдем углы 4-угольника МОКС:

По свойству внешнего угла тр-ка:

ОКС = а + В/2 (внешний к тр. ВОК)

ОМС = а + А/2 (внешний к тр. АОК)

МОК = 180-а (смежный с углом а)

Еще пригодится соотношение между углами А и В  и а:

а = А/2  +  В/2 (внешний к тр. АОВ)                               (1)

Итак угол МСК 4-ника МОКС, с одной стороны равен 180 - х (как смежный углу х), с другой стороны: МСК = 360 - (ОКС+ОМС+МОК) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). Получим уравнение:

360-(а+В/2+а+А/2+180-а) = 180-х

180 - а - (А+В)/2 = 180 - х

И с учетом (1) получим:

-2а = -х

х = 2а,   что и требовалось доказать

P.S.Если опять не получится здесь, чертеж вышлю на почту.

 

Answer 2

Конечно, давайте решим эту задачу.

Пусть у нас есть треугольник ABC, и пусть D — точка на стороне AC, в которой проведена биссектриса угла BAC, и E — точка на стороне AB, в которой проведена биссектриса угла ABC. Также пусть F — точка пересечения биссектрис.

Теперь рассмотрим угол BAF, который является половиной угла ABC, и угол CAD, который является половиной угла CAB. Сумма этих углов равна углу BAC. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[ \angle BAF + \angle CAD = \angle BAC \]

Теперь, по условию задачи, мы знаем, что угол BAF в два раза больше угла между биссектрисами:

\[ \angle BAF = 2 \cdot \angle BAE \]

Аналогично, угол CAD в два раза больше угла между биссектрисами:

\[ \angle CAD = 2 \cdot \angle CAD \]

Теперь мы можем переписать уравнение с использованием этих равенств:

\[ 2 \cdot \angle BAE + 2 \cdot \angle CAD = \angle BAC \]

Факторизуем углы:

\[ 2 \cdot (\angle BAE + \angle CAD) = \angle BAC \]

Теперь мы видим, что угол BAC в два раза больше суммы углов BAE и CAD. Но углы BAE и CAD образуют внутренний угол треугольника BAF, и, следовательно, их сумма равна внешнему углу треугольника BAF.

Таким образом, мы получаем:

\[ 2 \cdot \text{внешний угол BAF} = \angle BAC \]

Итак, внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами.