Question

Дано авсд-прямоугольная трапеция. (угол д = углу с =90градусов) вс=3см, сд=6см. Вд перпендикулярен ац. Найти: площадь трапеции. (Напишите подробно, плиз, чтоб и с доказательством подобия треугольников)

Answer 1

Sтр=S(ABD)+S(BCD)
<CBD=<ADB-накрест лежащие⇒<ADB==<CDB⇒ΔADB подобен ΔCDB
BD=√BC²+CD²=√36+9=√45=3√5
AB/BD=CD/BC
AB/3√5=6/3
AB=6√5
Sтр=1/2AB*BD+1/2BC*CD=1/2(6√5*3√5+3*6)=1/2(90+18)=1/2*108=54

Answer 2

Для начала обозначим вершины трапеции следующим образом: \(A, B, C, D\), где \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны, \(AC\) - диагональ, а \(BD\) - высота трапеции. Также известно, что угол \(D\) равен углу \(C\) и равен 90 градусам.

По условию задачи \(AD\) перпендикулярен \(AC\), следовательно, у нас есть два прямоугольных треугольника: \(\triangle ABD\) и \(\triangle BCD\). Обозначим длины сторон этих треугольников:

В \(\triangle ABD\): - \(AB = h\) (высота трапеции), - \(BD = CD = 3\) (половина основания трапеции).

В \(\triangle BCD\): - \(BC = AD = 6\) (половина основания трапеции), - \(CD = 3\) (половина основания трапеции).

Теперь рассмотрим отношение сторон в этих треугольниках и найдем их подобие:

\[ \begin{align*} \frac{AB}{BC} &= \frac{h}{6} \\ \frac{BD}{CD} &= \frac{3}{3} \\ \frac{AD}{AC} &= \frac{6}{\sqrt{h^2 + 9}} \quad \text{(по теореме Пифагора)} \end{align*} \]

Из этих отношений видно, что \(\triangle ABD\) подобен \(\triangle BCD\) (по признаку подобия треугольников).

Теперь, имея подобные треугольники, можно использовать соотношения сторон для нахождения высоты трапеции. Обозначим \(k\) коэффициент подобия:

\[ \begin{align*} \frac{h}{6} &= \frac{3}{\sqrt{h^2 + 9}} \quad \text{(по отношению высот к основанию)} \\ h^2 &= 18 \quad \text{(после умножения обеих сторон на 6 и возведения в квадрат)} \end{align*} \]

Теперь мы знаем, что \(h = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Теперь можем найти площадь трапеции, используя формулу для площади:

\[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(3 + 3) \cdot 3\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь данной трапеции равна \(9\sqrt{2}\) квадратных сантиметров.