Question

Помогите с решением, пожалуйста. В основании призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС (АВ=АС, угол ВАС = 2 альфа). Вершина А1 верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около нижнего основания. Боковое ребро АА1 образует со стороной основания АВ угол, равны 2 альфа. Найти объем призмы.

Answer 1

Введем обозначения на нижнем основании призмы: ΔАВС, проекция точки А1 на нижнее основание - точка О; АК ⊥ ВС; О∈ АК.
ВС=2R·sin 2α;
OR=0.5BC=R·sin 2α/
OK=√(OC²-OK²)=√(R²-R²sin²2α)=Rcos2α.
AK=OA+OK=R+Rcos2α.
Площадь основания призмы: S=0,5·BC·AK=0,5·2Rsin2α·(R+Rcos2α)=
=Rsin2α·(R+Rcos2α).
ΔAOA1.  tg2α=OA1/OA;   OA1=R·tg2α. ОА1-высота призмы.
V=S·OA1=Rsin2α·(R+Rcos2α)·R·tg2α.
Ответ: R³tg2α·sin2α(1+cos2α).

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

Итак, у нас есть призма \(АВСА_1В_1С_1\), где \(АВС\) — равнобедренный треугольник (\(АВ = АС\)) и \(\angle ВАС = 2\alpha\). Вершина \(А_1\) верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса \(R\), описанной вокруг нижнего основания. Боковое ребро \(АА_1\) образует с основанием угол, равный \(2\alpha\).

Так как треугольник \(АВС\) равнобедренный, то у него еще один угол равен \(2\alpha\) (основные углы равнобедренного треугольника равны). Таким образом, у нас есть два угла в треугольнике \(АВС\) равные \(2\alpha\) и один равный \(2\alpha\) у треугольника \(АА_1С_1\). Сумма углов в этих треугольниках равна \(180^\circ\).

\[2\alpha + 2\alpha + 2\alpha = 180^\circ\]

Решим это уравнение:

\[6\alpha = 180^\circ\]

\[\alpha = 30^\circ\]

Теперь мы знаем, что угол \(\alpha\) равен \(30^\circ\). Мы также знаем, что у нас есть центральный угол вокруг центра окружности радиуса \(R\), который равен \(360^\circ\). Так как у нас есть 12 углов \(2\alpha\) вокруг центра (6 в треугольнике \(АВС\) и 6 в треугольнике \(АА_1С_1\)), то угол между любыми двумя сторонами призмы (включая боковые и основание) будет равен:

\[360^\circ / 12 = 30^\circ\]

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти объем призмы. Объем призмы можно найти по формуле:

\[V = S_{\text{основания}} \times h\]

где \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания, а \(h\) — высота призмы.

Площадь треугольника \(АВС\) можно найти, используя формулу для равнобедренного треугольника:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle BAC)\]

Поскольку \(AB = AC\) и \(\angle BAC = 30^\circ\), формула упрощается:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times AB^2 \times \sin(30^\circ)\]

Теперь, зная \(S_{\text{основания}}\), нам нужно найти высоту призмы \(h\). Мы знаем, что боковое ребро \(АА_1\) образует угол \(2\alpha\), а также равно \(R\ (радиус окружности)\). Таким образом, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты:

\[h = R \times \cos(\alpha)\]

Теперь мы можем подставить все значения в формулу объема призмы:

\[V = S_{\text{основания}} \times h\]

\[V = \frac{1}{2} \times AB^2 \times \sin(30^\circ) \times R \times \cos(\alpha)\]

Подставляем значения:

\[V = \frac{1}{2} \times R^2 \times \sin(30^\circ) \times R \times \cos(30^\circ)\]

Теперь остается только вычислить этот выражение, чтобы найти объем призмы.