Question

В конусе через его вершину проведена плоскость пересекающая основание по хорде, длина которой равна 8 см и стягивающей дугу 90˚, а наибольший угол между образующими конуса равен 120 ˚. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Answer 1

Хорда, стягивающая дугу 90˚ является стороной вписанного в окружность квадрата. Диаметр окружности равен 8*√2 см (радиус 4*√2 см). Наибольший угол между образующими конуса получится в сечении конуса, если его вертикальной плоскостью рассечь пополам. В сечении получится равнобедренный треугольник с основанием  8*√2 см. и углом при вершине 120˚. Он легко решается, например по теореме косинусов. Боковая сторона треугольника (образующая конуса) равна 8*√(2/3) см.
Площадь полной поверхности конуса:
S(полн.)=Пи*r^2+ПИ*r*l=Пи*(32+4*√2*8*√(2/3))=32*Пи*(1+2/√3) см^2.

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

- \( r \) - радиус основания конуса, - \( l \) - длина хорды, стягивающей дугу основания конуса, - \( \alpha \) - угол, образованный двумя образующими конуса.

Известно, что \( l = 8 \) см и \( \alpha = 120^\circ \).

Нахождение радиуса основания конуса:

Поскольку дуга основания стягивается хордой, то длина хорды связана с радиусом и центральным углом между радиусами следующим образом:

\[ l = 2r \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

Подставим известные значения:

\[ 8 = 2r \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \]

\[ 8 = 2r \sin(60^\circ) \]

\[ 8 = \sqrt{3} r \]

\[ r = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Нахождение боковой поверхности конуса:

Боковая поверхность конуса вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{бок}} = \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right) \cdot 8 \]

\[ S_{\text{бок}} = \frac{64\pi}{\sqrt{3}} \]

Нахождение площади основания конуса:

Площадь основания конуса вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 \]

\[ S_{\text{осн}} = \frac{64\pi}{3} \]

Нахождение полной поверхности конуса:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \]

\[ S_{\text{полн}} = \frac{64\pi}{\sqrt{3}} + \frac{64\pi}{3} \]

\[ S_{\text{полн}} = \frac{64\pi}{\sqrt{3}} + \frac{192\pi}{3} \]

\[ S_{\text{полн}} = \frac{64\pi + 192\pi\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} \]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна \( \frac{64\pi + 192\pi\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} \) квадратных сантиметра.