Question

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, которая делит высоту пирамиды в отношении 3:8, считая от вершины. Вычисли площадь основания, если площадь сечения равна 27дм2.

Answer 1

Для наглядности привожу рисунок треугольной пирамиды, хотя она может быть какой угодно.

Пирамида SABC;  высота  SO⊥(ABC);  (KMN)║(ABC);  SF:FO = 3:8
$S_{KMN}=27$  дм²
$\frac{SF}{FO} = \frac{3}{8}$      $FO= \frac{8}{3} SF$     
SO = SF + FO = SF +  $\frac{8}{3} SF = \frac{11}{3} SF$

ΔSFM  прямоугольный  ∠SFM = 90°
ΔSOB  прямоугольный  ∠SOB = 90°
ΔSFM ~ ΔSOB  по общему острому ∠FSM  ⇒
$\frac{SB}{SM} = \frac{SO}{SF} = \frac{ \frac{11}{3} SF}{SF} = \frac{11}{3}$

NM║CB  ⇒ ∠SNM = ∠SCB; ∠SMN = ∠SBC как соответственные углы  ⇒
ΔSCB ~ ΔSNM  по двум равным углам   ⇒
$\frac{CB}{NM} = \frac{SB}{SM} = \frac{11}{3}$   ⇒
Т.к. фигура в сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобна основанию, то ΔABC ~ ΔKMN с коэффициентом подобия
k = $\frac{11}{3}$
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате
$\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} =k^2=( \frac{11}{3} )^2= \frac{121}{9} \\ \\ S_{ABC}= \frac{121}{9} S_{KMN}= \frac{121}{9} *27=363$

Ответ: площадь основания 363 дм³

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить площадь основания пирамиды, зная площадь поперечного сечения и отношение, в котором плоскость делит высоту пирамиды.

Шаг 1: Определение отношения высоты пирамиды

По условию задачи, плоскость, параллельная основанию, делит высоту пирамиды в отношении 3:8, считая от вершины. Это означает, что расстояние от вершины пирамиды до плоскости делится на две части: одна из них равна 3/11 высоты пирамиды, а другая равна 8/11 высоты пирамиды.

Шаг 2: Вычисление площади основания

Для вычисления площади основания, мы можем использовать формулу площади пирамиды:

Площадь основания = Площадь сечения / (Высота пирамиды - Расстояние от вершины до плоскости)

В данном случае, у нас есть площадь сечения (27 дм2) и отношение высоты пирамиды (3:8). Мы также знаем, что общая высота пирамиды равна расстоянию от вершины до плоскости, умноженному на сумму отношения (3 + 8 = 11).

Подставим известные значения в формулу:

Площадь основания = 27 дм2 / (11 * (8/11))

Выполняя вычисления, получим:

Площадь основания = 27 дм2 / 8

Площадь основания = 3.375 дм2

Таким образом, площадь основания пирамиды составляет 3.375 дм2.