Question

Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, причем АС – биссектриса угла DAB. Докажите, что АСхBD=ADхDC+ABхBC.

Answer 1

Вот ничего задачка, "пятиминутка" :) (в смысле, что для решения надо потратить сколько то времени, ну хоть 5 минут)

Пусть М - точка пересечения диагоналей.

Угол ВМА = угол CAD + угол BDA;

угол САD = угол САВ (АС - биссектриса);

угол САВ = угол CDB;

поэтому угол ВМА = угол CDA;

Конечно, угол СВА = 180 - угол CDA = угол DMA;

если сумма углов 180 градусов, то синусы у них равны.

Осталось выразить площадь четырехугольника через диагонали

S = BD*AC*sin(Ф)/2 (Ф = угол ВМА = угол CDA = 180 - угол СВА = 180 - угол DMA) - это легко получить,  просто сложив (MD*AM + MB*AM + MB*MC + MC*MD)*sin(Ф)/2;

и - то же самое - через стороны четырехугольника

S = (CD*AD + AB*BC)*sin(Ф)/2; 

отсюда сразу получается нужное соотношение.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать теорему Птолемея, которая гласит, что во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. То есть, в нашем случае, AC×BD = AB×CD + AD×BC. Но по условию задачи, AC – биссектриса угла DAB, то есть, она делит этот угол пополам. Значит, по свойству биссектрисы, AC×BD = AD×DC + AB×BC. Сравнивая эти два равенства, получаем, что AD×CD = AB×CD, откуда следует, что AD = AB. Это означает, что треугольник ABD – равнобедренный, а угол ABD равен углу ADB. Но так как AC – биссектриса угла DAB, то угол ABD равен углу BAC. Следовательно, треугольник ABC – также равнобедренный, и AB = AC. Тогда, подставляя в исходное равенство, получаем, что AC×BD = AD×DC + AC×BC, или, вынося общий множитель AC, AC×(BD - BC) = AD×DC. Отсюда, AC = AD×DC / (BD - BC), что и требовалось доказать.

Если вы хотите увидеть другие примеры решения подобных задач, вы можете посмотреть [здесь](https://ege.sdamgia.ru/test?filter=all&category_id=276&ttest=true).