Question

В треугольной пирамиде SABC, SA=SB=SC=6, AB=2, BC=3, AC=4, вычислить косинус двугранного угла при ребре SC

Answer 1

Площади боковушек\
полупериметр
p(ACS) = 1/2(6+6+4) = 8
площадь по формуле Герона
S(ACS) = √(8*2*2*4) = 8√2
высота через площадь
1/2*6*AW = 8√2
AW = 8/3√2
SW = √(6² - (8/3√2)²) = √(36 - 64/9*2) = √(196/9) = 14/3
--
полупериметр
p(BCS) = 1/2(6+6+3) = 7,5
площадь по формуле Герона
S(ACS) = √(7,5*1,5*1,5*4,5) = √(15*3*3*9/2⁴)= 9/4√15
высота через площадь
1/2*6*BR = 9/4√15
BR = 3/4√15
SR = √(6² - (3/4√15)²) = √(36 - 9/16*15) = √(441/16) = 21/4
подобие
QW/BR = SW/SR
QW/(3/4√15) = (14/3)/(21/4)
QW = 2√(5/3)
---
полупериметр
p(ABS) = 1/2(6+6+2) = 7
площадь по формуле Герона
S(ACS) = √(7*1*1*5) = √35
высота через площадь
1/2*6*AQ = √35
AQ = 1/3√35
---------------------------
Все стороны треугольника AQW у нас есть, можно вычислить плоский угол двугранного угла ребра SC
По теореме косинусов
AQ² = AW² + QW² - 2*AQ*QW*cos(QWA)
35/9 = (8/3√2)² + (2√(5/3))² - 2*8/3√2*2√(5/3)*cos(QWA)
35/9 = 64/9*2 + 4*5/3 - 32/3√(10/3)*cos(QWA)
35/9 = 128/9 + 60/9 - 32/3√(10/3)*cos(QWA)
153/9 = 32/3√(10/3)*cos(QWA)
153/√3 = 32√10*cos(QWA)
153/(32√30) = cos(QWA)
cos(QWA) = 51/32*√(3/10)
∠QWA = arccos(51/32*√(3/10)) ≈ 29,2°

Answer 2

Для вычисления косинуса двугранного угла при ребре \( SC \) в треугольной пирамиде \( SABC \) нужно использовать формулу косинуса для треугольника.

Формула косинуса для треугольника:

\[ \cos(\alpha) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}} \]

где: - \( \alpha \) - угол между сторонами \( b \) и \( c \), - \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

В данном случае у нас треугольник \( ABC \) с сторонами \( AB = 2, BC = 3, AC = 4 \) и углом \( \alpha \) при вершине \( A \).

Сначала найдем длину стороны \( AC \). По теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ AC^2 = 2^2 + 3^2 \]

\[ AC^2 = 4 + 9 \]

\[ AC^2 = 13 \]

\[ AC = \sqrt{13} \]

Теперь мы можем использовать формулу косинуса для треугольника \( ABC \):

\[ \cos(\alpha) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{{3^2 + \sqrt{13}^2 - 2^2}}{{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{13}}} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{{9 + 13 - 4}}{{6 \sqrt{13}}} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{{18}}{{6 \sqrt{13}}} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{{3}}{{\sqrt{13}}} \]

Таким образом, косинус угла \( \alpha \) равен \( \frac{{3}}{{\sqrt{13}}} \).