Question

Дано: дуга АВ=120градусов, хорда АВ=6см Найти: Площадь этой фигуры.

Answer 1

Проведем перпендикуляр из центра окружности к хорде.

Он разделит хорду на 2 части, равные 3 см.

Теперь мы имеем 2 прямоугольны[ треугольникa.

Гипотенуза в них - радиус окружности.

Катеты - 1-й половина хорды =3 см,

2-й- расстояние от центра окружности до хорды.

Этот катет равен половине гипотенузы, как противолежащий углу 30 градусов ( это следует из условия задачи, т.к. угол АОВ=120 градусов.

Площадь треугольника АОВ cостоит из суммы площадей 2-х равных прямоугольных треугольников и равна площади равностороннего треугольника с высотой 3 см и стороной, равной радиусу окружности ( удвоенному расстоянию от ее центра до хорды)

Формула площади равностороннего треугольника через его высоту

S=h²:√3
S=3²:√3-  умножим и числитель, и знаменатель дроби на √3, получим

S=3²√3:3=3√3 см²

Не каждый наизусть помнит эту формулу. Поэтому можно найти сначала по теореме Пифагора второй катет прямоугольного треугольника, Затем найти площадь АОВ по классической формуле площади треугольника
S=h*а:2, где а - удвоенное расстояние от центра окружности до хорды АВ.

  

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу.

Дано: дуга АВ = 120 градусов, хорда АВ = 6 см.

Найти: площадь фигуры, ограниченной дугой и хордой.

Решение:

Пусть радиус окружности, на которой лежит дуга АВ, равен R. Тогда длина дуги АВ равна

$$L = \frac{120}{360} \cdot 2\pi R = \frac{\pi}{3} R$$

По теореме косинусов для треугольника АОВ, где О - центр окружности, имеем

$$R^2 = R^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 - 2R \cdot \frac{6}{2} \cos 60^\circ$$

Отсюда находим

$$R = 3 + \frac{3}{2} \sqrt{3}$$

Тогда площадь сектора АОВ равна

$$S_1 = \frac{120}{360} \cdot \pi R^2 = \frac{\pi}{3} \left(3 + \frac{3}{2} \sqrt{3}\right)^2$$

Площадь треугольника АОВ равна

$$S_2 = \frac{1}{2} R \cdot \frac{6}{2} \sin 60^\circ = \frac{9}{4} \sqrt{3}$$

Площадь фигуры, ограниченной дугой и хордой, равна разности площадей сектора и треугольника:

$$S = S_1 - S_2 = \frac{\pi}{3} \left(3 + \frac{3}{2} \sqrt{3}\right)^2 - \frac{9}{4} \sqrt{3} \approx 19.63$$

Ответ: площадь фигуры, ограниченной дугой и хордой, равна 19.63 кв. см.