Question

Докажите что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются вершинами прямоугольника

Answer 1

Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма:середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Если диагонали перпендикулярны то значит что это квадрат, а если это квадрат то соответственно, то соответсвенно фигура, вершины которой будут находит на середине его сторон буду прямоугольны.

Answer 2

Давайте рассмотрим четырехугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями. Пусть AC и BD - диагонали, и они пересекаются в точке O.

Также, пусть M, N, P и Q - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Нам нужно доказать, что M, N, P и Q образуют прямоугольник.

1. Поскольку AC и BD - перпендикулярные диагонали, это значит, что угол между ними прямой (90 градусов). Таким образом, треугольники AOB, BOC, COD и DOA прямоугольные.

2. Также, по определению середины отрезка, мы знаем, что AM = MB, BN = NC, CP = PD и DQ = QA.

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Угол AMB - это угол между сторонами AM и MB. Поскольку AM = MB и угол AOB прямой, то угол AMB тоже прямой.

Аналогично, мы можем показать, что углы BNC, CPD и DQA также прямые.

Таким образом, мы видим, что углы M, N, P и Q внутри четырехугольника AMBN, BNCP, CPDQ и DQAM являются прямыми углами. Это означает, что M, N, P и Q образуют прямоугольник.

Таким образом, мы доказали, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон образуют прямоугольник.