Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60,а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 63 см.Найти гипотенузу треугольника.

Answer 1

195433865447738288888

Answer 2

Давайте обозначим угол, равный 60°, как угол α. В этом прямоугольном треугольнике с углом 60° гипотенуза соответствует противоположнему этому углу катету, а катет, соответственно, будет противоположным углу 30°.

Пусть \( AC \) - гипотенуза, \( BC \) - меньший катет. Тогда имеем следующее:

\[ BC = AC \cdot \sin(60^\circ) \] \[ AC = BC \cdot \cfrac{1}{\sin(60^\circ)} \]

Мы знаем, что \( BC + AC = 63 \) см. Подставим \( BC \) в формулу для \( AC \):

\[ AC = BC \cdot \cfrac{1}{\sin(60^\circ)} \] \[ AC = (63 - BC) \cdot \cfrac{1}{\sin(60^\circ)} \]

С учетом того, что \(\sin(60^\circ) = \cfrac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем продолжить:

\[ AC = (63 - BC) \cdot \cfrac{2}{\sqrt{3}} \] \[ AC = \cfrac{126 - 2 \cdot BC}{\sqrt{3}} \]

Теперь заметим, что \( BC = AC \cdot \sin(60^\circ) = AC \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому:

\[ 2 \cdot BC = AC \cdot \sqrt{3} \] \[ BC = \cfrac{AC \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим это обратно в уравнение для \( AC \):

\[ AC = \cfrac{126 - 2 \cdot \cfrac{AC \cdot \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} \] \[ AC = \cfrac{126 - AC \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \] \[ AC \cdot \sqrt{3} = 126 - AC \cdot \sqrt{3} \] \[ 2 \cdot AC \cdot \sqrt{3} = 126 \] \[ AC = \cfrac{126}{2 \cdot \sqrt{3}} \] \[ AC = \cfrac{63}{\sqrt{3}} \] \[ AC = \cfrac{63 \cdot \sqrt{3}}{3} \] \[ AC = 21 \cdot \sqrt{3} \]

Таким образом, гипотенуза \( AC \) прямоугольного треугольника равна \( 21 \cdot \sqrt{3} \) см.