Question

1. Точки К и М лежат соответственно на сторонах АВ и СD параллелограмма ABCD, AK=KB, СM:MD=2:5. Выразите вектор КМ через векторы p=AB и q=AD2. Найдите координаты вектора b, если b=1/3c-d, вектор c {-3; 6}, вектор d {2;-2}.3.Один из углов прямоугольной трапеции равен 120 градусов. бОльшая боковая сторона равна 20см, средняя линия равна 7см. Найдите основания трапеции.

Answer 1

1

сделаем построение по условию

KM=KB+BC+CM=AB/2+AD-MC=p/2+q-2/7*p=(7-4)/14*p+q=3/14*p+q =q+3p/14 

Ответ 3/14*p+q =q+3p/14 

*возможны перестановки 

2

координаты вектора b

x=1/3*(-3)-2=-3

y=1/3*6-(-2)=2+2=4

Ответ b {-3; 4}

3

сделаем построение по условию

опустим перпендикуляр h на нижнее основание

в прямоугольном треугольнике углы

120-90=30  

90-30=60

тогда x=20см*sin30=10см

верхнее основание a

нижнее основание b=a+x

средняя линия L

L=(a+b)/2=(a+a+x)/2 = a+x/2

a=L-x/2=7-5=2см

b=a+x=2+10=12см

Ответ основания  2см ; 12см

 

Answer 2

1. Выражение вектора KM через векторы p и q:

В параллелограмме AKBM (где K и M лежат на сторонах AB и CD) применим правило параллелограмма для вектора KM:

\[\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BM}\]

Также, мы знаем, что \(\overrightarrow{KB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{BM} = \frac{5}{7} \overrightarrow{q}\) (так как \(\frac{CM}{MD} = \frac{2}{5}\)).

Подставим это в выражение для \(\overrightarrow{KM}\):

\[\overrightarrow{KM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{p} + \frac{5}{7} \overrightarrow{q}\]

2. Найдите координаты вектора b:

У нас есть \(b = \frac{1}{3}c - d\), где \(\overrightarrow{c} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \end{bmatrix}\) и \(\overrightarrow{d} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}\).

Подставим значения:

\[b = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}\]

Выполним вычисления:

\[b = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix}\]

Таким образом, координаты вектора \(b\) равны \((-3, 4)\).

3. Основания трапеции:

У нас есть прямоугольная трапеция с углом 120 градусов, большей боковой стороной \(20\) см и средней линией \(7\) см.

Пусть \(AB\) - большая основа, \(CD\) - меньшая основа. \(E\) - точка пересечения продолжений боковых сторон.

Так как у нас прямоугольная трапеция, угол между \(AD\) и \(BC\) равен \(90\) градусов.

\[AE = CD = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \, \text{см} = 3.5 \, \text{см}\]

По теореме косинусов в треугольнике \(ADE\):

\[AD^2 = AE^2 + DE^2 - 2 \cdot AE \cdot DE \cdot \cos(120^\circ)\]

Подставим значения:

\[20^2 = (3.5)^2 + DE^2 - 2 \cdot 3.5 \cdot DE \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

Решим уравнение и найдем значение \(DE\).

Теперь, используя равенство \(BC = AD - DE\), найдем \(BC\).

Таким образом, мы определяем основания трапеции.