Question

Точки A, B, C,лежат в каждой из двух различных плоскостей.Докажите что эти точки лежат на одной прямой

Answer 1

Предположим, что точки не лежат на одной прямой. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Значит, если точки A,B,C не лежат на одной прямой, то не существует 2 различных плоскостей, содержащих эти точки. Это противоречит условию задачи. Значит, точки лежат на одной прямой.

Answer 2

Допустим, у нас есть две различные плоскости: \( \alpha \) и \( \beta \). Точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат в этих плоскостях. Мы хотим доказать, что эти точки лежат на одной прямой.

Вспомним, что если три точки лежат на одной прямой, то они также лежат в одной плоскости. Поэтому наша цель - показать, что точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат в одной плоскости.

Предположим, что точки \( A \) и \( B \) лежат в плоскости \( \alpha \), а точка \( C \) - в плоскости \( \beta \). Теперь давайте рассмотрим прямую, проходящую через \( A \) и \( B \). Эта прямая будет лежать в плоскости \( \alpha \), так как все её точки принадлежат этой плоскости.

Теперь рассмотрим плоскость \( \beta \). Так как прямая проходит через точки \( A \) и \( B \) и лежит в плоскости \( \alpha \), она пересекает плоскость \( \beta \) в какой-то точке. Обозначим эту точку через \( P \).

Таким образом, у нас есть три точки: \( A \), \( B \) и \( P \), которые лежат в плоскости \( \beta \). Но тогда точка \( C \), также лежащая в плоскости \( \beta \), также должна лежать на этой прямой. Итак, все три точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что если точки \( A \), \( B \) и \( C \) лежат в различных плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \), то они обязательно лежат на одной прямой.