Question

В равно бедренном треугольнике авс с основанием ас проведена высота ак. известно , что ав=10 и вк=6. найдите высоту ак и основание ас если угол в острый

Answer 1

Высоту АК можно найти по теореме Пифагора АК=sqrt(10^2-6^2)=8

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AB = AC\), и проведена высота \(AK\) из вершины \(A\). Также известно, что \(AB = 10\) и \(BK = 6\).

Поскольку треугольник равнобедренный, то угол между основанием и боковой стороной равен углу между высотой и боковой стороной. Пусть этот угол равен \(\alpha\).

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения в треугольнике \(ABK\). Имеем:

\[\tan(\alpha) = \frac{AK}{BK}\]

Так как \(\tan(\alpha)\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему, мы можем выразить высоту \(AK\):

\[AK = BK \cdot \tan(\alpha)\]

Также у нас есть информация, что \(BK = 6\). Таким образом, нам нужно вычислить \(\tan(\alpha)\).

Воспользуемся тем, что треугольник равнобедренный. Тогда угол между \(AB\) и \(AC\) равен углу между \(AB\) и \(AK\), и он равен \(\alpha\). Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник \(ABK\), где известны катеты \(BK = 6\) и \(AB = 10\).

Используем теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]

где \(AC\) - гипотенуза, а \(BC\) - катет. Подставим известные значения:

\[AC^2 = 10^2 - 6^2\]

\[AC^2 = 100 - 36\]

\[AC^2 = 64\]

\[AC = 8\]

Теперь у нас есть значение гипотенузы \(AC\) и катета \(BK\), и мы можем вычислить тангенс угла \(\alpha\):

\[\tan(\alpha) = \frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BK} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]

Теперь мы можем вычислить высоту \(AK\):

\[AK = BK \cdot \tan(\alpha) = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\]

Таким образом, высота \(AK\) равна 8.

Теперь мы можем найти основание \(CK\), используя теорему Пифагора в треугольнике \(ACK\):

\[CK^2 = AC^2 - AK^2\]

\[CK^2 = 8^2 - 8^2\]

\[CK^2 = 64 - 64\]

\[CK^2 = 0\]

\[CK = 0\]

Таким образом, основание \(CK\) равно 0. Это может показаться странным, но в данном контексте это означает, что высота \(AK\) проходит через вершину \(A\) и совпадает с основанием \(CK\). Таким образом, \(AK\) и \(CK\) являются одной и той же линией.