Question

В прямоугольном треугольнике ABC, катеты ab-8, cb=6, на гипотенузе AC отмечена точка K, так ,что треугольник abk равнобедренный. Найдите радиус окружности описанной около треугольника ABK.

Answer 1

АВС - египетский треугольник (подобный треугольнику со сторонами 3,4,5), поэтому для угла САВ = Ф

sinФ = 3/5; cosФ = 4/5;

Треугольник АВК равнобедренный. Это возможно в двух случаях:

1. АК = ВК; в этом случае точка К лежит в середине АС (медиана равна половине гипотенузы), и ВК = АК = 5;

Тогда по теореме синусов 2*R*sinФ = 5;

R = 25/6;

2. AB = AK = 8; в этом случае надо найти ВК. По теореме косинусов

BK^2 = 8^2 + 8^2 - 2*8*8*cosB = 8^2*2*(1 - 4/5) = 8^2*2/5;

По теореме синусов ВК = 2*R*sinФ = R*6/5;

R = (5/6)*8*корень(2/5) = (4/3)*корень(10);

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и окружности, описанной около треугольника. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

Свойства равнобедренного треугольника

Так как треугольник ABK является равнобедренным, то это означает, что сторона AB равна стороне BK.

Свойства окружности, описанной около треугольника

Окружность, описанная около треугольника ABK, проходит через вершины этого треугольника. Из этого следует, что диагональ AK является диаметром этой окружности.

Нахождение радиуса окружности

Мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и окружности, описанной около треугольника, чтобы найти радиус этой окружности.

1. Из свойства равнобедренного треугольника мы знаем, что AB = BK. Так как ab = 8, то AB = BK = 8.

2. Так как AB = BK, то точка K является серединой гипотенузы AC. Значит, AK = KC = AC/2.

3. Мы знаем, что AK является диаметром окружности, описанной около треугольника ABK. Значит, радиус этой окружности равен половине длины диаметра. Таким образом, радиус окружности равен R = AK/2.

Решение задачи

Для решения задачи, нам необходимо найти длину гипотенузы AC. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC.

В данном случае, ab = 8 и cb = 6. Подставляя эти значения в теорему Пифагора, мы получаем:

AC^2 = ab^2 + cb^2 AC^2 = 8^2 + 6^2 AC^2 = 64 + 36 AC^2 = 100 AC = 10

Таким образом, длина гипотенузы AC равна 10.

Теперь, используя найденную длину гипотенузы AC, мы можем найти радиус окружности, описанной около треугольника ABK:

AK = AC/2 = 10/2 = 5

R = AK/2 = 5/2 = 2.5

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABK, равен 2.5.