Question

Стороны параллелограмма равны 23 и 11, а диагонали относится как 2:3. Найдите длину большей диагонали. 7. Найдите стороны а и b(a≠b) параллелограмма, острый угол которого 60о, если a:b=5:8, а меньшая диагональ параллелограмма равна 28.

Answer 1

Решаем задачу на основании следствия из теоремы косинусов: в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.
Обозначим диагонали 2х и 3х.
(2х)² + (3х)² = 2*(23²+11²)
13х²=1300
х=10. Диагонали равны 20 и 30.

2. Обозначим стороны параллелограмма 5х и 8х и применим теорему косинусов к треугольнику с углом 60°.
28²=(5х)²+(8х)²-2*5х*8х*1/2. (1/2 - это косинус 60°)
784 = 89х²-40х²
49х²=784
х=4, стороны параллелограмма 20 и 32.

Answer 2

1. Первая задача:

Дано, что стороны параллелограмма равны 23 и 11, а диагонали относятся как 2:3.

Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \), где \( a = 23 \) и \( b = 11 \).

Также, пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) будут длинами диагоналей, и \( k \) - коэффициент, на который длины диагоналей относятся.

У нас есть:

\[ \frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3} \]

Мы знаем, что диагонали параллелограмма можно найти с использованием формулы косинусов:

\[ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta) \]

где \( \theta \) - угол между сторонами, т.е., угол параллелограмма.

Так как параллелограмм, угол между соседними сторонами равен 180 градусам, следовательно, \( \cos(180^\circ) = -1 \).

Подставляем значения и решаем уравнение для \( d_1 \):

\[ d_1^2 = 23^2 + 11^2 - 2 \cdot 23 \cdot 11 \cdot (-1) \]

\[ d_1^2 = 529 + 121 + 506 \]

\[ d_1^2 = 1156 \]

\[ d_1 = \sqrt{1156} \]

\[ d_1 = 34 \]

Теперь, зная \( d_1 \), можем найти \( d_2 \):

\[ \frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3} \]

\[ \frac{34}{d_2} = \frac{2}{3} \]

\[ 3 \cdot 34 = 2 \cdot d_2 \]

\[ d_2 = \frac{3 \cdot 34}{2} \]

\[ d_2 = 51 \]

Таким образом, длина большей диагонали \( d_2 \) равна 51.

2. Вторая задача:

Дано, что стороны параллелограмма обозначены как \( a \) и \( b \), где \( a:b = 5:8 \). Угол параллелограмма \( \theta = 60^\circ \), и меньшая диагональ равна 28.

Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника. Поскольку угол параллелограмма \( \theta = 60^\circ \), у нас есть равнобедренные треугольники.

Пусть \( h \) будет высотой треугольника, проведенной к основанию, которое является стороной параллелограмма.

Тогда, мы можем использовать тригонометрию для вычисления \( h \):

\[ h = a \cdot \sin(\theta) \]

Также, из условия \( a:b = 5:8 \), мы можем записать \( a \) через \( b \):

\[ a = \frac{5}{8}b \]

Подставляем это в формулу для \( h \):

\[ h = \frac{5}{8}b \cdot \sin(\theta) \]

Теперь, зная \( h \), мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного меньшей диагональю и половиной большей диагонали:

\[ h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 28^2 \]

Подставляем значение \( h \) и решаем уравнение для \( b \):

\[ \left(\frac{5}{8}b \cdot \sin(\theta)\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 28^2 \]

\[ \frac{25}{64}b^2 \sin^2(\theta) + \frac{1}{4}b^2 = 28^2 \]

\[ \frac{25}{64}b^2 \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{4}b^2 = 28^2 \]

\[ \frac{19}{64}b^2 = 28^2 \]

\[ b^2 = \frac{64}{19} \cdot 28^2 \]

\[ b = \sqrt{\frac{64}{19} \cdot 28^2} \]

\[ b \approx 42 \]

Теперь, используя соотношение \( a:b = 5:8 \), мы можем найти \( a \):

\[ a = \frac{5}{8}b \]

\[ a = \frac{5}{8} \cdot 42 \]

\[ a \approx 26.25 \]

Таким образом, стороны \( a \) и \( b \) параллелограмма равны примерно 26.25 и 42 соответственно.