Question

1) В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C и ABC. 2) В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями BDC1 и B1AD.

Answer 1

Векторным методом решается без включения мозга. Посмотри чисто геометрическое решение. Если будет интересно, обращайся, покажу основы векторного метода и примеры 

Answer 2

Конечно, давайте разберём оба задания.

1) Угол между плоскостями \(AB_1C\) и \(ABC\) в кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\):

Плоскости \(AB_1C\) и \(ABC\) проходят через рёбра куба и имеют общую сторону \(AB\). Чтобы найти угол между ними, можно использовать косинус угла между плоскостями, который выражается через нормальные векторы к этим плоскостям.

Нормальный вектор к плоскости \(AB_1C\) можно найти, взяв векторное произведение векторов, лежащих на этой плоскости. Пусть \( \vec{u} = \overrightarrow{AB_1} \) и \( \vec{v} = \overrightarrow{BC_1} \). Тогда нормальный вектор \( \vec{n_1} \) к плоскости \(AB_1C\) будет равен \( \vec{n_1} = \vec{u} \times \vec{v} \).

Точно так же можно найти нормальный вектор \( \vec{n_2} \) к плоскости \(ABC\) через векторное произведение векторов, лежащих на этой плоскости: пусть \( \vec{p} = \overrightarrow{AB} \) и \( \vec{q} = \overrightarrow{BC} \). Тогда \( \vec{n_2} = \vec{p} \times \vec{q} \).

Затем, используя скалярное произведение векторов \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \), можно вычислить косинус угла между ними:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\lVert \vec{n_1} \rVert \cdot \lVert \vec{n_2} \rVert} \]

Где \( \lVert \vec{n_1} \rVert \) и \( \lVert \vec{n_2} \rVert \) - длины соответствующих векторов \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \).

2) Угол между плоскостями \(BDC_1\) и \(B_1AD\):

Аналогично, найдите нормальные векторы к этим плоскостям через векторное произведение векторов, лежащих в плоскостях. Пусть \( \vec{r} = \overrightarrow{BD} \) и \( \vec{s} = \overrightarrow{DC_1} \) для плоскости \(BDC_1\) и \( \vec{t} = \overrightarrow{B_1A} \) и \( \vec{u} = \overrightarrow{AD} \) для плоскости \(B_1AD\).

Вычислите нормальные векторы \( \vec{m_1} = \vec{r} \times \vec{s} \) и \( \vec{m_2} = \vec{t} \times \vec{u} \), затем снова используйте скалярное произведение для вычисления косинуса угла между ними.

\[ \cos \phi = \frac{\vec{m_1} \cdot \vec{m_2}}{\lVert \vec{m_1} \rVert \cdot \lVert \vec{m_2} \rVert} \]

Где \( \lVert \vec{m_1} \rVert \) и \( \lVert \vec{m_2} \rVert \) - длины векторов \( \vec{m_1} \) и \( \vec{m_2} \).

Это даст вам косинусы углов между плоскостями. Вы можете вычислить углы, используя обратный косинус, чтобы получить значения углов между плоскостями \(AB_1C\) и \(ABC\), а также между \(BDC_1\) и \(B_1AD\).