Question

В равнобедренной трапеции abcd проведены: mn - средняя линия, ac -биссектриса, которая пересекает среднюю линию в точке k. Найдите периметр трапеции , если mk=3дм , kn=5дм

Answer 1

Так как AC биссектриса, то AB = BC (потому что равны углы BCA и BAC - и тот и другой равны углу CAD);
Кроме того, MK - средняя линия треугольника ABC; а KN - средняя линия треугольника ACD;
поэтому AD = 10; BC = 6 = AB = CD;
периметр 28

Answer 2

Давайте обозначим точки:

- \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) - вершины трапеции (против часовой стрелки, начиная с левого нижнего угла); - \(M\) - точка пересечения биссектрисы \(AC\) и \(BD\); - \(N\) - середина линии \(AD\); - \(K\) - точка пересечения биссектрисы \(AC\) и \(MN\).

Из условия задачи известно, что \(MK = 3\, \text{дм}\) и \(KN = 5\, \text{дм}\).

Так как \(M\) - середина \(BD\), а \(N\) - середина \(AD\), то \(MN\) - половина высоты трапеции.

Теперь обратим внимание на треугольник \(AMK\). По теореме о биссектрисе:

\[ \frac{AM}{MK} = \frac{AN}{NK} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AM}{3} = \frac{AN}{NK} \]

Теперь обратим внимание на треугольник \(ANK\). Так как \(N\) - середина \(AD\), то \(AN = \frac{AD}{2}\). Пусть \(AD = a\). Тогда \(AN = \frac{a}{2}\).

Подставим это в уравнение:

\[ \frac{AM}{3} = \frac{a/2}{NK} \]

Отсюда получаем, что \(NK = \frac{2 \cdot AM}{a}\).

Теперь вернемся к трапеции. Периметр трапеции равен сумме длин её сторон:

\[ P = AB + BC + CD + DA \]

Так как \(AB = CD\) (так как трапеция равнобедренная), то

\[ P = AB + BC + 2 \cdot AD \]

Теперь вернемся к треугольнику \(ANK\). По теореме Пифагора:

\[ AN^2 + NK^2 = AK^2 \]

Подставим известные значения:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{2 \cdot AM}{a}\right)^2 = AK^2 \]

Теперь, зная длины сторон \(AB\), \(BC\), и \(AK\), можем выразить периметр трапеции \(P\):

\[ P = AB + BC + 2 \cdot AD = AB + BC + 2 \cdot \sqrt{AN^2 + NK^2} = AB + BC + 2 \cdot \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{2 \cdot AM}{a}\right)^2} \]

Теперь у нас есть уравнение для периметра трапеции. Остается подставить известные значения \(AB\), \(BC\), \(AM\), \(a\), и решить уравнение.