Question

докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная

Answer 1

четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных угол равна 180

пусть углы 1и2 при большем основании, тогда 3и4 при меньшем. Угол 1+4=180

угол 2+4=180(т.к. в трапецие основания параллельны, и эти углы соответственный)

тогда получаетчя, что угол 1=2, что и надо было доказать

Answer 2

Давайте докажем это утверждение. Предположим, у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD — основания трапеции, а BC и AD — боковые стороны. Пусть O — центр окружности, вписанной в трапецию.

Так как окружность вписана в трапецию, то каждая сторона трапеции касается этой окружности. Таким образом, мы можем провести радиусы окружности, проведенные к точкам касания, которые будем обозначать как E, F, G и H.

Также, по свойству касательных, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен к соответствующей стороне трапеции в этой точке.

Теперь обозначим длины сторон трапеции следующим образом:

- \(a = BC\) (боковая сторона), - \(b = AD\) (боковая сторона), - \(c = AB\) (меньшее основание), - \(d = CD\) (большее основание).

Итак, у нас есть следующие равенства:

1. \(OE = OF = r\) (радиус окружности), 2. \(OG = OH = r\) (радиус окружности), 3. \(AE \perp AB\), 4. \(BF \perp AB\), 5. \(CG \perp CD\), 6. \(DH \perp CD\).

Теперь рассмотрим треугольники OAE и OBF:

- \(\angle OAE = \angle OBF\) (так как касательные к окружности перпендикулярны радиусу), - \(\angle AEO = \angle BFO = 90^\circ\) (по построению), - \(OA = OB = r\) (радиус окружности).

Треугольники OAE и OBF подобны по стороне-угол-стороне (по углам и общему радиусу), а значит, соответствующие углы равны. То есть, \(\angle AEO = \angle BFO\).

Аналогично, рассмотрим треугольники OCG и ODH:

- \(\angle OCG = \angle ODH\) (так как касательные к окружности перпендикулярны радиусу), - \(\angle CGO = \angle DHO = 90^\circ\) (по построению), - \(OC = OD = r\) (радиус окружности).

Треугольники OCG и ODH подобны по стороне-угол-стороне (по углам и общему радиусу), а значит, соответствующие углы равны. То есть, \(\angle CGO = \angle DHO\).

Теперь обратим внимание на то, что \(\angle AEO = \angle BFO\) и \(\angle CGO = \angle DHO\), следовательно:

\[\angle AEO + \angle CGO = \angle BFO + \angle DHO.\]

Но углы AEO и CGO дополняют друг друга до прямого угла, а углы BFO и DHO также дополняют друг друга до прямого угла. Таким образом:

\[90^\circ + 90^\circ = 90^\circ + 90^\circ,\]

что является тождественным уравнением. Это означает, что у нас равны углы треугольников AEO и CGO, а следовательно, треугольники AEO и CGO равны.

Теперь рассмотрим треугольники BFO и DHO. Аналогично, у нас есть:

\[90^\circ + 90^\circ = 90^\circ + 90^\circ,\]

что также является тождественным уравнением. Это означает, что у нас равны углы треугольников BFO и DHO, а следовательно, треугольники BFO и DHO равны.

Итак, мы доказали, что треугольники AEO и CGO равны, а также треугольники BFO и DHO равны. Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. Этот четырехугольник можно разбить на два треугольника AEO и BFO, и также на два треугольника CGO и DHO.

Так как соответствующие треугольники равны, то и четырехугольник ABCD разбитый на эти треугольники также равен. Это означает, что стороны AB и CD трапеции равны между собой (так как соответствующие стороны равных треугольников равны).

Таким образом, мы доказали, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.