Question

DABC -правильный тетраэдр. Точки К и E - середин ребер DB и CB соответсвенно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью АКЕ и вычислите его периметр , если длина ребра 6см.

Answer 1

//////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

У нас есть тетраэдр DABC, где D, A, B и C - вершины тетраэдра. Точки K и E являются серединами ребер DB и CB соответственно.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью АКЕ: - Так как K и E - середины ребер DB и CB, то отрезки AK и AE делят соответствующие ребра на две равные части. - Плоскость АКЕ будет проходить через вершину A и середины ребер DB и CB, образуя новый треугольник AKE внутри тетраэдра DABC.

2. Вычислите периметр сечения: - Так как у нас образуется треугольник AKE, нам нужно вычислить длины его сторон и сложить их, чтобы получить периметр.

Для этого важно знать длину ребра тетраэдра. Вы сказали, что длина ребра равна 6 см. Теперь мы можем вычислить длины сторон треугольника AKE.

Поскольку K и E - середины соответствующих ребер, длина отрезка AK (и AE) будет половиной длины соответствующего ребра. Таким образом, длина стороны треугольника AKE будет равна 3 см.

Теперь, когда у нас есть длины сторон треугольника, мы можем вычислить периметр по формуле: \[ P_{AKE} = AK + AE + KE \]

Подставляем значения: \[ P_{AKE} = 3 + 3 + KE \]

Однако нам не известна длина отрезка KE. Для его нахождения, рассмотрим прямоугольный треугольник KDB в тетраэдре DABC.

Используем теорему Пифагора для этого треугольника: \[ DB^2 = DK^2 + KB^2 \]

Так как K - середина ребра DB, то DK и KB будут равны половине длины ребра DB, т.е. 3 см. Подставляем значения: \[ DB^2 = 3^2 + 3^2 \] \[ DB^2 = 18 \]

\[ DB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Теперь, так как KE также является серединой ребра, мы можем сказать, что KE равно половине длины ребра, т.е. \( KE = \frac{1}{2} \times DB \).

Подставляем значения: \[ KE = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника AKE: \[ P_{AKE} = 3 + 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

\[ P_{AKE} = 6 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, периметр сечения тетраэдра плоскостью АКЕ равен \(6 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\) см.