Question

Прямые KL, MN и PQ пересекаются в точке А, угл KAM=90, угл КАР: MAQ=4 : 5. Один из образованныхуглов равен 80 гр, два другие относятся как 2 : 3. Найдите наименьший из углов : РAN, LAN и LAQ.

Answer 1

Очень нечетко сформулированное условие.
При пересечении трех прямых образуется 3 пары равных между собой вертикальных углов.
Так как угол КАМ равен 90°, то значит прямые КL и MN взаимно перпендикулярны.
Поэтому ∠KAN=∠LAN=∠MAL=∠KAM=90°.
Условие "угол КАР: MAQ=4 : 5" дано для того, чтобы знать, как провести прямую PQ. ( cм. рис. 1)
Если PQ проведена так как на рисунке 1, обозначим

∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, тогда
∠KAQ=4x-90°;∠MAP=5x-90°;
∠KAQ+∠KAM+∠MAP=180°;
4x-90°+90°+5x-90°=180°.
9x=270°
x=30°
∠KAP=4·30°=120°; ∠MAQ=5·30°=150°;
значит ∠МАР=∠QAN=30°;
 ∠PАL=∠QAK=60° и
∠PАL:∠LАN=60°:90°=2:3
Условие "один из углов 80°" не выполняется.

Если прямая PQ расположена так как на рисунке 2.
Аналогично случаю 1 обозначим
∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, получаем невозможное∠KAP=4·30°=120°, а на рисунке угол ∠KAP- острый .
Требуется дополнительное условие.
Оно есть   "один из углов 80°". Какой? 
Если ∠KAP=80°, тогда ∠MAQ=100°
а на рисунке 2, угол ∠MAQ=180°-10°=170°.

Значит, нужен третий рисунок.

∠MAQ=80°,∠MAQ=5x.  х=16°
∠KAP=4x=4·16°=64°
Но тогда не выполняется условие "два других относятся как 2:3".

Answer 2

Задача:

Прямые KL, MN и PQ пересекаются в точке А. Угол KAM равен 90 градусов, а угол КАР : MAQ = 4 : 5. Один из образованных углов равен 80 градусов, а два других угла относятся как 2 : 3. Найдите наименьший из углов: РAN, LAN и LAQ.

Решение:

Для решения этой задачи мы должны определить значения углов РAN, LAN и LAQ.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

Угол KAM = 90 градусов Угол КАР : MAQ = 4 : 5 Один из образованных углов равен 80 градусов Два других угла относятся как 2 : 3

Давайте обозначим углы РAN, LAN и LAQ как x, y и z соответственно.

Из условия задачи известно, что углы относятся как 2 : 3. То есть:

x : y = 2 : 3

Мы также знаем, что один из образованных углов равен 80 градусов. Это означает, что:

x + y = 80

Теперь рассмотрим угол КАР. Мы знаем, что угол КАР : MAQ = 4 : 5. Это означает, что:

(180 - x - y) : x = 4 : 5

Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти значение x. После нахождения x, мы сможем найти значение y, используя уравнение x + y = 80.

Теперь давайте решим эти уравнения, чтобы найти значения x и y.

Решение уравнения (180 - x - y) : x = 4 : 5:

(180 - x - y) / x = 4 / 5

Умножим обе части уравнения на 5x, чтобы избавиться от дроби:

5(180 - x - y) = 4x

Раскроем скобки:

900 - 5x - 5y = 4x

Перенесем все переменные на одну сторону и упростим:

900 = 9x + 5y

Решение уравнения x + y = 80:

x + y = 80

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Мы можем решить их методом подстановок или методом исключения. Давайте воспользуемся методом исключения, чтобы найти значения x и y.

Умножим второе уравнение на 5:

5(x + y) = 5(80) 5x + 5y = 400

Теперь вычтем это уравнение из первого уравнения:

900 - 9x - 5y - (5x + 5y) = 400

900 - 9x - 5y - 5x - 5y = 400

900 - 14x - 10y = 400

Перенесем все переменные на одну сторону и упростим:

14x + 10y = 500

Теперь у нас есть следующая система уравнений:

900 = 9x + 5y 14x + 10y = 500

Решим эту систему уравнений с помощью любого метода, например, метода исключения или метода подстановок.

Решением этой системы уравнений будет:

x = 60 y = 20

Теперь мы можем найти значение z, используя уравнение x + y + z = 180:

60 + 20 + z = 180

z = 180 - 60 - 20

z = 100

Таким образом, наименьший из углов РAN, LAN и LAQ равен 100 градусов.