Question

В равнобедренном треугольнике АВС медианы проведенные к боковым сторонам АЕ и БД взаимноперпендикулярны и имеют длину 3 см Найдите площадь треугольника

Answer 1

Медианы в треугольнике делятся на части 1:2

Рассмотрим треугольник АОB - он равнобедренный и прямоугольный

АB = 2√2

проведем третью медиану, она одновременно является высотой

КO = √2

Следовательно высота СК = 3√2

S = AB*CK/2 = 2√2 * 3√2 /2 = 6 cм²

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами медиан в равнобедренном треугольнике. Пусть \(M\) - точка пересечения медиан, проведенных к боковым сторонам \(AE\) и \(BD\).

Свойства медиан в треугольнике:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. 2. Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Таким образом, мы можем сказать, что \(AM:ME = 2:1\) и \(BM:MD = 2:1\). Обозначим длины \(AM\) и \(BM\) за \(2x\), тогда длины \(ME\) и \(MD\) будут равны \(x\).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \(AME\) и \(BMD\) с гипотенузой длиной 3 см и катетами длины \(x\).

По теореме Пифагора для треугольников \(AME\) и \(BMD\):

\[(AM)^2 = (AE)^2 - (ME)^2\] \[(BM)^2 = (BD)^2 - (MD)^2\]

Подставим значения:

\[(2x)^2 = (AE)^2 - x^2\] \[(2x)^2 = (BD)^2 - x^2\]

Учитывая, что треугольник ABC равнобедренный, то \(AE = BD\), поэтому можем записать:

\[4x^2 = (BD)^2 - x^2\]

Теперь решим уравнение относительно \(x\):

\[5x^2 = (BD)^2\]

\[x^2 = \frac{(BD)^2}{5}\]

Теперь мы знаем длину \(x\). Площадь треугольника \(ABC\) можно выразить через длины медиан \(AM\) и \(BM\):

\[S_{ABC} = \frac{2}{3} \cdot S_{AME} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AM \cdot ME\]

Так как \(AM = 2x\) и \(ME = x\):

\[S_{ABC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot x = \frac{1}{3} \cdot x^2\]

Подставим значение \(x^2\):

\[S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(BD)^2}{5}\]

Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{15}\) квадратных сантиметров.