Question

Внутри угла равного 45 градусов, взята точка,удаленная от сторон угла на расстояния корень из 2 и 2. найдите квадрат расстояния вершины угла.

Answer 1

задача плоская - всё происходит в плоскости, перпендикулярной грани угла и содержащей т.А. Рисуем угол 45 градусов, где то внутри угла на расстоянии 10 - точку А, и из неё опускаем перпендикуляры на стороны угла. Пусть длина одного х, тогда другого х*3*√2.
(Для любителей тупых решений скажу сразу, х является решением тригонометрического уравненияpi/4 = arccos(x/10) + arccos(x*3*√2/10);Однако все гораздо приятнее)
Продолжим отрезок длинны х до пересячения со второй стороной угла. Получим прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого катет равен х+х*3*√2*√2 = 7*х, и в нем отрезок, соединяющий вершину одного острого угла с точкой на противоположном катете, который отсекает на нем отрезок х. Это отрезок по условию равен 10.отсюдах^2 + (7*x)^2 = 10^2; х = √2; второе расстояние равно 6, конечно.

Answer 2

Давайте обозначим вершину угла буквой \( O \), а точку, удаленную от сторон угла на расстояния \( \sqrt{2} \) и \( 2 \), будем обозначать буквой \( A \). Пусть \( OA = x \).

Так как точка \( A \) удалена от сторон угла на расстояния \( \sqrt{2} \) и \( 2 \), мы можем составить уравнения для \( OA \) с использованием тригонометрических функций.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OAB \), где \( OB \) - сторона угла, \( OA \) - гипотенуза, \( AB \) - прилежащий к углу катет.

Используем тангенс угла \( \angle AOB \):

\[ \tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB} \]

У нас угол \( \angle AOB \) равен 45 градусам, поэтому \(\tan(45^\circ) = 1\):

\[ 1 = \frac{x}{OB} \]

Отсюда получаем \( OB = x \).

Теперь рассмотрим треугольник \( OAC \). Используем тангенс угла \( \angle OAC \):

\[ \tan(\angle OAC) = \frac{2}{x} \]

У нас угол \( \angle OAC \) также равен 45 градусам, поэтому \(\tan(45^\circ) = 1\):

\[ 1 = \frac{2}{x} \]

Отсюда получаем \( x = 2 \).

Теперь мы знаем, что \( OB = x = 2 \). Квадрат расстояния от вершины угла до точки \( A \) равен квадрату гипотенузы треугольника \( OAB \):

\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]

\[ OA^2 = (2)^2 + (\sqrt{2})^2 \]

\[ OA^2 = 4 + 2 \]

\[ OA^2 = 6 \]

Таким образом, квадрат расстояния от вершины угла до точки \( A \) равен 6.